矩阵知识导图

以下讲述了矩阵的初等变换与线性方程组，知识点有矩阵的初等行列变换、矩阵的种类、矩阵的秩、线性方程组的解。

矩阵的初等变换与线性方程组

• 矩阵的初等行/列变换
  • 概念
    • 对调任意两行/列
    • 以数k≠0乘某一行/列中所有元
    • 把某一行/列所有元的k倍加到另一行/列对应的元素上
  • A(m*n)
    • 一系列初等行变换变成成B
      • A~B
        • 存在m阶可逆矩阵P,使PA=B
    • 一系列初等列等价变换成B
      • A~B
        • 存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B
    • 一系列初等变换变成B
      • A~B
        • 存在m阶可逆矩阵P及可逆矩阵Q发，使PAQ=B
  • 左行右列
    • 对A（m*n)实行一次初等行变换
      • 给A左乘m阶初等矩阵
        • E(i,j)A:把矩阵A的第i行与第j列对调
        • E[i(k)]A:以非零常数k乘A的第i行
        • E[ij(k)]A:把A第i行的k倍加到第j行
    • 对A(m*n）实行一次初等列变换
      • 给A右乘n阶初等矩阵
        • AE(ij):把A的第i列和第j列对调
        • AE[i(k)]:以非零常数k乘A的第i列
        • AE[ij(k)]:把A的第j列乘k加到第i列
• 矩阵的种类
  • 系数矩阵
  • 增广矩阵（系数矩阵|线性方程组右边的常数）
  • 行阶梯形矩阵
  • 行最简形矩阵
  • 初等矩阵（由单位矩阵经过一次初等变换得到)
  • 初等矩阵的逆矩阵
    • E(ij)^(-1)=E(ij)
    • E[i(k)]^（-1）=E[i(1/k)]
    • E[ij(k)]^(-1)=E[ij(-k)]
• 矩阵的秩
  • k阶子式：在A(m*n)中，任取k行k列，将k^2个元素不改变顺序得到k阶行列式
  • 实质：最高阶非零子式的阶数，零矩阵秩为0
  • n阶矩阵A
    • R(A)=n
      • 满秩矩阵（可逆矩阵）
    • R(A)<n
      • 降秩矩阵(奇异矩阵/不可逆矩阵）
  • 秩的性质
• 线性方程组的解
  • n元齐次方程组Ax=0
    • R(A)=n↔满秩矩阵↔可逆↔|A|=0↔有唯一解
    • R(A)<n↔有无穷解（即有非零解）
  • n元非齐次方程组Ax=b
    • 若未知数个数=方程个数，且|A|不等于0，用克拉默法则
    • 若未知数个数>方程个数，则R(A)一定<n
      • 若R(A)<R(A,b),方程组无解
      • 若R(A)=R(A,b),有无穷多解
    • 若未知数个数<方程个数，将增广矩阵→行阶梯形
      • 若R(A)<R(A,b），方程组无解
      • 若R(A)=R(A,b)=n，方程组有唯一解
      • 若R(A)=R(A,b)<n,方程组有无穷解
• attention:求A的最高阶子式应从它本身取，而非从它的行等价矩阵得到，但列未经变换，取法可相同 取法：每个台阶取一列，一定能构成上三角形行列式