线性系统的根轨迹法

线性系统的根轨迹思维导图，包括根轨迹法概念、绘制法则、广义根轨迹、系统性能分析等内容，结合导图复习更有效率哦～

第四章、线性系统的根轨迹法

• 根轨迹法的基本概念
  • 根轨迹概念
    • 根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
  • 根轨迹与系统性能
    • 稳定性
      • 根轨迹均在s的左半平面，则系统对所有k>0的值是稳定的。
    • 稳态性能
      • 如果有一个开环极点s=0，说明属于Ⅰ型系统，阶跃作用下的稳态误差为0.
    • 动态性能
      • 过阻尼→临界阻尼→欠阻尼
    • K越大，阻尼比ζ越小，超调量 σ%越大
  • 闭环零、极点与开环零极点之间的关系
    • 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统根轨迹增益
    • 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成。
    • 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*均有关。
  • 根轨迹方程
    • 根轨迹方程
    • 相角条件 （确定s平面上根轨迹的充分必要条件）
    • 模值条件
• 根轨迹的基本法则
  • 根轨迹的起点和终点
    • 1.根轨迹起始于开环极点，终于开环零点 2.有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处 3.把无穷远处的零点叫做无限零点。
  • 根轨迹的分支数、对称性和连续性 （确定实轴部分根轨迹）
    • 根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极点n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。
  • 根轨迹的渐近线（n-m≥2）
    • 渐近线与实轴的夹角
    • 渐近线与实轴的交点
  • 根轨迹在实轴上的分布
    • 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
  • 根轨迹的分离点与分离角
    • 根轨迹分离点
      • 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。
      • 方程：
    • 根轨迹分离角
  • 根轨迹的起始角与终止角
    • 起始角：
    • 终止角：
  • 根轨迹与虚轴的交点
    • 方法一：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和ω值可用劳斯判据确定
    • 方法二:也可令闭环特征方程中的s=jω,然后分别令其实部和虚部为零而求得。
  • 根之和
    • (n-m≥2)
• 系统性能的分析
  • 稳定性
    • 根轨迹位于S左半平面则系统稳定，位于右半平面则不稳定。根轨迹与虚轴交点处，系统等幅振荡，此时为临界稳定。
  • 准确性
    • 稳态误差的大小取决于系统型别和系统开环增益。
    • 在根轨迹上，位于原点处的极点的重数表征了系统的型别。
    • 而根轨迹上，沿着箭头方向，根轨迹增益K*增加，开环增益K增加。
  • 快速性与动态性能
    • 负实数极点离虚轴越远，系统的调节时间就越短，响应越快。
    • 复数极点的位置与性能的关系:
      • 闭环极点与负实轴的夹角β反映了系统的超调量
      • 闭环极点在s左、右平面的分布反映了系统的稳定性。
  • 两个概念
    • 主导极点
    • 偶极子
  • 增加开环零极点对系统性能的影响
    • 增加开环零点
      • 1.改变了根轨迹在实轴上的分布 2.改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距。 3.若形成开环偶极子，可抵消有损于系统性能的极点。 4.根轨迹曲线向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且所加零点越靠近虚轴，影响越大。
    • 增加开环极点
      • 1.改变了根轨迹在实轴上的分布 2.改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距。 3.改变了根轨迹的分支数 4.根轨迹曲线向右偏移，不利于改善系统的动态性能，而且所加零点越靠近虚轴，影响越大。