考研数学常考题型及解决方法

考研数学常考题型及解决方法，从函数极限连续、导数与微分、微分中值定理及导数应用、二重积分、多元微分学、定积分应用等展开。

常考题型及解决方法

• 第一章 函数极限连续3
  • 第一节 函数2
    • 题型一：函数有界性、单调性、周期性及奇偶性1
      • 
      • 某点（区间）函数导数大于0，推不出（推出）函数单调增
      • 积分中值定理
    • 题型二：复合函数1
      • 
  • 第二节 极限4
    • （选择题,证明题）题型一：极限的概念、性质、存在准则（2种方法）
      • 
      • AB都是对n>N之后保序性才成立，而不是对于任意n成立，无穷小乘无穷大是未定式，有可能存在也有可能不存在
      • 2004.10
        • 
    • 题型二：求极限（重点）(9种方法）
      • 1、利用基本极限2
        • 
      • 2、利用等价无穷小代换
        • 
        • 等价无穷小代换原则
          • 1、乘除关系可以换（分子或者分母或者分子和父母代换,指数和对数的底数不能换）
            • 
            • 一定要展开到上下同阶
              • 2021 17
          • 2、加减关系在一定条件下可以换（两个减项不等价，可以都换，也可以只换一个）
            • 
            • 
        • b(X)不一定趋向于0，趋向于无穷也行
          • 2004 15
            • 
      • 3、利用有理运算法则
        • 此注结论还应用于同区间收敛，可积，但不同区间的收敛发散性必须要两个都收敛才收敛，一个收敛一个发散，或者两个发散都发散
        • 极限种只有非零因子可以先求出来，不要随便先算后算
          • 
      • 4、利用洛必达法则
        • 洛必达法则可以直接用的情况0/0或者
        • 
        • • • 洛必达
            • 等价无穷小
            • 泰勒
          • • 洛必达
            • 分子分母同除分子分母中最高阶的无穷大
        • 有根式的三种处理办法
          • 二次根
            • 
          • 高次根
            • 有理化就不方便了，就用后两者
        • 3
          • 
        • 
          • • 
          • • 
        • n不能用洛必达，必须要用归结原则变成x再用洛必达，而且都要变成正的，正无穷，正0
      • 5、利用泰勒公式(7)
        • 
        • 
      • 6、利用夹逼原理（n和i次数不齐时）
        • • 一般只动处理分母，不动分子
      • 7、利用单调有限准则
      • 8、利用定积分（n和i次数齐时）（见第5章）
        • 1、切分n等分2、一般取右端点高
      • 9、利用中值定理求极限(要注意使用条件）3
        • 
        • 
        • 尽量让提出来的因子极限不为0,把不变号的留在里面
        • 积分中值定理可以写成开区间也可以写成闭区间，一般写成开区间好用
        • 用积分中值定理是被积函数为g(x)f(x),一定要先提一个非零因子，保留不变号的在里面，不能直接用普通的积分中值定理
          • 
      • 函数极限7
        • • • 洛必达法则可以直接用的情况0/0或者
            • 
            • • • 洛必达
                • 等价无穷小
                • 泰勒
                • 如果遇到0/0，不能用洛必达时，应想到
                  • 
                    • 
                • • 用积分中值定理是被积函数为g(x)f(x),一定要先提一个非零因子，保留不变号的在里面，不能直接用普通的积分中值定理
                    • 
              • • 洛必达
                • 分子分母同除分子分母中最高阶的无穷大
            • 有根式的三种处理办法
              • 二次根
                • 
              • 高次根
                • 有理化就不方便了，就用后两者
            • 3
              • 
            • 
              • • 
              • • 
            • n不能用洛必达，必须要用归结原则变成x再用洛必达，而且都要变成正的，正无穷，正0
      • 数列极限4
        • 
          • 改写成函数极限
          • n不能用洛必达，必须要用归结原则变成x再用洛必达，而且都要变成正的，正无穷，正0
        • • • 利用夹逼原理（n和i次数不齐时）
              • • 一般只动处理分母，不动分子
            • 利用定积分（n和i次数齐时）（见第5章）
              • 1、切分n等分2、一般取右端点高
        • 
          • 
            • 
          • 
            • 
            • 用函数判断不单调，不单调的情况下只能用方法二
              • 
          • 单调性判断的三种方法
            • 
            • 
          • 判断有界性的两种方法
            • 基本不等式
              • 
            • 先代入，解出极限，然后用归纳法：1、x1满足条件2、若xn-1满足条件，xn=f(xn-1)满足条件，即可证xn满足条件
          • 对于递推数列，只要证明其上下都有界和单调就算不知道其单调增还是单调减，都可以说明极限存在
          • a是方程的唯一实根
            • 先证明a是方程的根，然后用单调性证是唯一实根
    • 题型三：确定极限式中的参数（本质求极限）1
      • 子主题
    • 题型四：无穷小量阶的比较（求极限0/0)3
      • 洛必达法则
        • 
      • 等价无穷小量
        • 
        • 分子两等价无穷小后除分母为0时，必须把两等价无穷小拆开算，而不能一个在极限里算42页方法二
      • 泰勒公式
  • 第三节 连续
    • 题型一：讨论函数连续性及间断点的类型（重点）
      • 第一类间断点要说清楚是可去还是跳跃，第二类间断点直接说第二类间断点就可了，不用再往下说
      • 要找全无定义点
      • 没有给出函数而只是给出极限表达式的求函数间断点问题，先根据极限表达式求出函数，再求函数间断点
      • 左右极限的三种常见问题
        • 
        • 
        • 
    • 题型二：闭区间连续函数的性质（有界定理，零点定理，界值定理，最值定理）的证明题（难点）
• 第二章导数与微分
  • 题型一:导数与微分的概念3
    • 1.利用导数的定义求极限
      • 给了导数为A或者存在，要算一个极限。方法：把要求的极限改写成导数定义的形式（可能用到洛必达，n阶可导只能用到出现n-1阶，n阶可导连续才能用到出现n阶。
      • 选择题，填空题时，特殊值法：可以用满足条件的函数代入，求得结果
    • 2.利用导数定义求导数
      • n项相乘，第一项极限为0，两种处理方法：1、定义法2.记做第一项乘后面余项（记做g(x），再求导
        • 
      • 分段点的导数：用定义法
        • 
    • 3.利用导数定义判断函数的可导性
      • 导数定义判断某点的可导性，需要一动点，一定点，而不能两个都是动点
        • 
      • 函数在某点可导的充要条件
        • 当方框为正时，推的的右导数存在，方框为负时推的是左导数存在，要左右导数都存在且相等，才能推出可导。 要同阶，否则可能由后面趋向于0的部分决定一定存在，而跟此式无关
        • 可导=可导+可导，其中两个可导就能推出第三个可导
        • 
        • （2）也可以理解为f(x)可导且导数等于0
      • 
      • 一个极限形式的函数，首先要求出极限，找出函数的表达式
        • 2005 7 复习全书56 6 
          • 
  • 题型二:导数的几何意义
    • 两曲线相切在某点就是两曲线在某点的函数值喝导数值相等
  • 题型三导数与微分的计算
    • 1.复合函数求导法
      • 复合函数内外层都可导，复合函数一定可导。内外层至少一个不可导，复合函数也不一定不可导
        • 
      • 复合函数在分段点的导数不方便用定义法，可以链导法做，等于内层函数在分段点的导数乘以外层函数在相应点的导数
      • sin1/x去心邻域没有定义，所以在0点没有极限，所以x=1/npai 时，所以不能作为定义法求极限的方框，也不能做sin方框/方框=1
    • 2.隐函数求导法
      • 求完一阶导后回头看下如何化简，化简后再求二阶
    • 3.参数方程的导数
      • 
      • 参数方程和隐函数复合问题，直接一阶二阶都代公式方便
        • 
    • 4.反函数求导法
    • 5.对数求导法
      • 
      • 两种方法：1、两边取对数，求导2、改写成指数，求导
    • 6.高阶求导法
      • 求n阶导
        • 
        • 
        • 分母可以分解就用有理函数分解
        • 三角有理式高次幂降幂，套用公式
          • 
      • 求具体点的n阶导
        • 
• 第三章微分中值定理及导数应用
  • 题型一：函数的单调性和极值
  • 题型二：曲线的凹向和拐点，渐近线及曲率
    • 求凹凸区间，单调区间时，严格大于（小于），没有等号2004，2
      • 
        • 
  • 题型三：方程根的存在性2及个数2
    • 甚至用到泰勒公式
    • 
      • 罗尔定理推论的证明反复用罗尔定理
    • 证方程有且仅有a个根
      • 可以代入数值尽量代出求出a个根，然后用罗尔定理推论说明最多a个根，这样就知道有且仅有a个根
        • 
    • 有参数的方程求根个数
      • 第一步分离参数再往后做
        • • 
    • 没有给出具体方程，通过二阶导大于或者小于0，一阶导和函数的值，可以用泰勒公式求出另一点大于或者小于0，求出一根，然后根据二阶导大于或者小于零，得出最多1个根，则有唯一根
      • 
  • 题型四：证明函数不等式5
    • 1.单调性（最常用）
    • 2.最大最小值
    • 3.拉格朗日中值定理
    • 4.拉格朗日泰勒公式
    • 5.凹凸性
      • 
    • 遇到对数lna/b记得化为lna-lnb,用单调性算
      • 
    • 遇到指数函数，取对数变形
      • 
  • 题型五：微分中值定理的证明题3
    • （重要之处在于要证明的结论中有一阶导，不然就不是微分中值定理证明题，而是连续函数闭区间零点定理证明题）
      • 如果出现的是二阶导和一阶导也是同理
      • 也可以x,f(x),f(x)的积分
        • 
      • 如果构造的辅助函数在某点无定义，可以根据连续的定义，给它补成分段函数，让其在[a,b]连续
    • 式子里一定有两个参数的一阶导，这才叫双中值
      • 
      • 
        • 选分界点时，要选有交点的，都排除f(X)=x,如果第一问没有分界点的线索，第二问就先设出来分界点，然后代入拉格朗日式子中用逆推法解出分界点
    • • 
• 第九章 二重积分
  • 题型一 二重积分的计算（核心思想：把重积分化累次积分）
    • 利用直角坐标计算
      • 遇到被即函数是x(y)或者x(y)的几次方，尽量先积y(x);x（y)的平方既是x(y)的偶函数，又是y(x）的偶函数
        • 
      • 求D为参数方程的二重积分
        • 先用直角坐标累次积分化为定积分，再把参数方程代入算定积分
          • 
      • 被积函数带绝对值
        • 分区域拿掉绝对值，得到一个好算的一个不好算的（用大区域减小区域表示）
          • 
    • 利用极坐标计算
      • • 2004
          • 
    • 利用（积分域）对称性和（函数）奇偶性
      • f(x,y)在被积区域D，符合一次Dx(y)对称,y(x)奇函数，则f(x,y)在D上的二重积分就为0而；符合一次Dx(y)对称,y(x)偶函数，折叠一次，符合两次折叠两次。
        • 
    • 利用变量对称性
    • 求大区域与小区域之间的关系的题的做法：做辅助线，凑对称关系，用对称关系
      • 
        • 
    • 二重积分带绝对值的积分常用方法：1、分区域去掉绝对值，变成一个好算的区域，一个不好算的区域2、不好算的区域，做区域的减法
      • 
  • 题型二 累次积分交换次序及计算
    • 方法;1、画域2、重新定限
    • 如果不好计算，就交换次序，交换次序后依然不好算，就换坐标系
      • 
    • 累次积分不一定上限大于下限
      • 
  • 题型三 与二重积分有关的综合题
    • 两层变上限积分,求f(x)
      • 1.交换积分次序，使二重变上限积分变成一重外层变上限积分 3.求一次导，把外层积分消去，外层变量到内层。3.用积分中值定理
        • 
  • 题型四 与二重积分有关的表达式问题
    • 几个二重积分比较大小：积分区域相同时，比较被积函数；被积函数相同时，比较积分域
• 第八章 多元微分学（一般考一个大题，一道小题，大题要么出第二节，要么出第三节）
  • 第一节 重极限（极限）连续（ 连续） 偏导数（导数）全微分（微分）
    • 题型一 讨论连续性，可导性，可微性3
      • 1.判断偏导数是否连续(利用了求偏导数的方法和连续性的判断）
        • 求重极限的偏导数(先代后求）
          • 对x(y）求偏导数，先把y0（x0)代入，再对x(y)求导
            • 
          • 二元微分两个偏导数存在即可导，一元微分左右导数存在且相等才可导
        • 用定义判定重极限的连续性
          • 求出分段点的极限，判断分段点的极限值是否等于分段点的函数值
            • 
        • 
      • 2.判断可微性的方法（利用了计算重极限的方法和证明重极限不存在的方法)
        • 计算重极限的方法
          • 一般先初步判断，上下次数相同，极限不存在。上 高于下，极限为0。下高于上，极限为无穷。再选择方法，重极限为0，取绝对值，用夹逼准则，重极限不存在，找两个不同趋向方式，得到两个不同的结果，或者某个趋向方式，重极限不存在，从而证明重极限不存在。
          • 
          • 
            • 
          • 在一元趋向于0时，只看低次，舍去高次。在多元里不能这样，因为y可能等于x的1/n次方，可以用基本不等式
            • 
              • 
        • 证明重极限不存在的方法
        • 
        • 常数一定可微
          • 
  • 第二节 多元函数的微分法（只剩下复合函数和隐函数,先代后求会简单点，不容易出错）
    • 题型一 求一点处的偏导数与全微分
      • 求分段函数在分界点处的偏导数一般用定义
      • 求具体点的偏导数可以用先代后求（求x偏导时代y，求y偏导时代x)的方法
        • 
      • 求具体点的高阶偏导数可以在求了一阶导函数后用先代后求的方法
        • 
    • 题型二 求出已给具体函数表达式函数的偏导数·
      • z里面，xy可以互换，则求出对x的偏导，互换xy就得到对y的偏导数
      • 知道偏导数求函数本身和一元知道导数求原函数一样，求积分；做一元不定积分加常数，做偏积分加任意函数；f(x)对x做积分，记做g(x).
      • 知道关于x和关于y的含参偏导数，要确定参数的值，就分别再求一次偏导，得到两个混合偏导数，根据两个混合偏导数相等，确定参数的值
        • 
        • 
      • 知道全微分，如何求函数本身
        • 偏导数法：根据一个偏导数求出函数本身含任意函数表达式，再求偏导等于另一个偏导数，从而解出任意函数，把任意函数代入函数本身含任意函数表达式中，就可以求得函数本身。
          • 
    • 题型三 求含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
      • 求f对u,v，u=g(x,y），v=f(x,y)的混合偏导，先把x,y用u,v表示出来，代入表达式，使表达式成为只含v,v的表达式，再求混合偏导数
        • 
      • 求f对u,v，u=g(x,y），v=f(x,y)的高阶混合偏导，注意一定不要弄错
        • 
      • 将u对x和y的偏导数式子，化为u对f(x,y)和g(x,y)的式子
        • 
      • 二元函数f(x,y)如果f对x的偏导恒等于0，那f(x,y）实际上就不随x变，为一元函数f(y).y二阶导和y一阶导可以用y一阶导，y的方法解出y一阶导，然后积分出y
        • 
    • 题型四 隐函数的偏导数与微分
      • 三种方法：1、求偏导（此时将u看成x、y的函数）2、公式法：把u看作常数。具体用哪个方法，多总结。
        • • 
          • 
        • 
          • 
      • 如果题目中给出u=f(x,y,z),又给了u=u(x)，首先明白u为什么是x的一元函数
        • 
    • 隐函数和抽象函数的区别
      • 抽象函数是针对具体函数而言，隐函数是针对显函数而言。 前者的特征是只有函数符号而无具体解析式，后者的特征是方程确定函数（有的甚至不能显化）。 对某函数只给出函数符号，性质或满足的公式，没有直接或间接给出解析式的函数，叫抽象函数。 一个二元方程F（x,y）=0如果确定了一个函数，那么就说方程确定了一个隐函数。如果能化成y=f(x)的形式，即用x表示y,叫做隐函数的显化。
  • 第三节 多元函数的极值和最值
    • 题型一 求极值（无条件）
      • 对于显函数，如z=包含x,y变量的函数，f(x,y)=包含x,y的函数，立马就确定驻点（x0,y0），对于隐函数，如关于x,y,z的方程，驻点为(x0,y0,z0)
    • 题型二 最大最小值题
      • 第一类问题：求连续函数f在有界闭区域最大最小值
        • 
        • 先求内部的驻点（多元，里函数一般可导，驻点就是极值点，用对x和对y的偏导为0联立可得），再用拉格朗日乘数法求边界的点（如果有几条注意乘数法条件边和其他条件边的交点，也带入乘数法的值中比较）
          • 05 20
            • 
      • 第二类：求函数在约束条件下的最大最小值
        • 直接拉格朗日乘数法把可能取得极值的所有点比较就得到最大值和最小值
      • 第三类：最值应用题，可能要简化目标函数
        • 点到直线的距离公式
          • 
        • 列出目标函数后，再用拉格朗日乘数法时，可以简化目标函数，使目标函数更容易求导
      • 在构造拉格朗日乘数时，对于u=u(x,y,z),F(x,y,z)=0,x,y,z 都为末端自变量，对z求偏导时，把x,y看成常数。
        • 与这两道题含有自变量，中间变量的题对比
          • 
          • 
      • • 
• 第七章微分方程3
  • 题型一 微分方程求解4
    • 如果一个微分方程不属于我们常见的类型
      • 第一种处理方法：x和y对调
        • 
      • 第二种方法：变量代换
        • 
    • 做可分离变量时，可以把自变量直接往下除到分母上，不可以把因变量直接往下除到分母上
      • 
      • 不能直接把1-u^2除到分母上
    • 给了三个二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程
      • 先根据齐次通解找到特征根，确定特征方程，从而确定齐次方程，然后设好非此次方程，找个特解代进去，求出非齐次方程。
        • 
    • 给了三个二阶线性非齐次方程的特解，注意不是常系数
      • 代入特解，然后几阶方程求几次导，消去任意常数c1,c2，得到通解
    • 2004 5
    • 
      • 
  • 题型二 综合题3
    • 遇到f(x)导和f(-x)的微分方程
      • 解决方法：再求一次导（2式），变量代换(1式），消元得f(x)二阶导和f(x)的关系式
        • 
    • 遇到函数方程，化为微分方程，只说有定义，没有说处处可导，只给了一点导数，可以从导数的定义出发，既说明了导数存在，又把微分方程关系建立起来了
    • 第二问求值也充分利用微分方程，而不是直接解f(x)的通解，代进去算
      • a>=0时，发散，a<0，收敛
      • 
  • 应用题
    • 题型一 牛顿第二定律
      • 
        • 
    • 题型二 变化率问题
      • 
        • 
        • 
        • 2021 3
          • 
    • 可导可以推出有切线，有切线不一定可导
• 第六章定积分应用2
  • 题型一 几何应用
    • 
    • 2004 18
      • 
  • 题型二 物理应用
• 第五章定积分与反常积分2
  • 第一节 定积分3
    • 题型一 定积分的概念、性质及几何意义5
      • 1.定积分的概念
        • 定积分的概念考法就一个：用定积分求极限
          • 
          • 2004.9
            • 
      • 2.定积分的性质
        • 上下限都变但上限减下限为常数，求极限一般用积分中值定理
          • 
          • 用积分中值定理是被积函数为g(x)f(x),一定要先提一个非零因子，保留不变号的在里面，不能直接用普通的积分中值定理
        • 上下限是常数，求极限变量在里面，用夹逼准则或者定积分定义
          • 夹逼
          • 积分中值定理
          • 
      • 3.定积分的几何意义（只有在下限小于上限时，才能使用定积分的几何意义）
        • 
      • 4.变上限定积分函数及其应用
        • 
        • f(X)可积，其变上限积分连续；f(X)连续，变上限积分可导，且导数值等f(x0);f(x)可去间断点，变上限积分可导但导数值不等于f(x0);f(x)跳跃间断点，变上限积分不可导但连续。
        • 
        • 变上限积分函数的计算
          • 洛必达
            • 
          • 等价代换
          • 积分中值定理
            • 
        • g(x)是f(x)的反函数，g[f(x)]=x
          • 
        • 定积分分区间从被积函数绝对值等于0处开始分区间
      • 5.用定积分表达和计算函数的平均值（可以和积分中值定理一起记忆）
        • 
    • 题型 二定积分计算
      • 
      • 
      • 
      • 可去间断点 连续且可导
      • 
        • 待定系数法拆成两项这种情况下在分子上凑分母和分母的导数
      • 
      • 当其他各种方法都不好用时用区间再现
    • 题型三 变上限积分及其应用3+1+2
      • 连续性
      • 可导性
        • 
      • 奇偶性
        • 
      • 计算变上限积分有关极限的方法3
        • 洛必达法则
        • 等价无穷小代换
          • 
        • 积分中值定理
          • 
      • f(x)与g(x)互为反函数
        • f(g(x))=x,g(f(x))=x
          • 
      • 从被积函数等于0，开始分区间
        • 
    • 题型四 证明积分不等式的方法5
      • 1.定积分不等式性质
      • 2.变量代换
      • 3.积分中值定理
      • 4.变上限积分
      • 5.柯西积分不等式
      • 当题目里提供了被积函数单调性，才适合变上限积分证明函数不等式的思想
        • 
      • 积分不等式两边分别出现f(x)和f(x)导函数，通常用牛顿莱布尼茨公式（优先）或者拉格朗日中值定理把它们联系到一起
        • 
      • 出现f(x)平方和f(x)导数的平方应该用柯西积分公式
        • 
        • 
        • 遇到下限大，上限小的时候，用柯西积分公式应该写成下限小，上限大
          • 
  • 第二节 反常积分2
    • 题型一 反常积分的概念和敛散性
      • 敛散性判断3+1
        • 定义法(找原函数）
        • p积分（直接变量代换可以化成或者直接是p积分形式时）
        • 比较法和比较法的极限形式（不能直接化成p积分形式时，找合适比较的p积分）
        • 上下限都是无定义点或者无穷点，或一个无穷一个无定义，要在中间分区间
    • 题型二 反常积分的计算2
      • 先算个定积分，再算个极限1+3
        • 核心方法：换元，分部
          • 
        • 积分的根号里出现了二次三项式，无论做定积分，不定积分，还是反常积分都都先把根号里配方再换元
          • 
        • 两端被积函数变了，一般做代换，下限0，上限正无穷，做了变量代换后，上下限区间未变，一般做的是倒代换
      • 经典题型1
        • 
          • 
          • 
• 第四章 不定积分2
  • 题型一 计算不定积分
    • 经典题型
      • 
        • 
        • 
    • 三角有理式里三角次数较低的适合用万能代换，次数高了就不适合了
  • 题型二 不定积分杂例
    • 给出一个包含f(x)的不等积分式，求导求得f(X)的表达式，将f(x)代到要求的积分中，求得结果。
      • 
    • 给了包含F(x)和f(x)的式子，先解F(x)，再解f(x)
      • 
    • 连续的分段函数的积分必连续，所以分段求出原函数，令其中一个常数为c，表示另一个常数，把常数带进去，保证原函数连续
      •