导数与微分

同济版高等数学第二章导数与微分知识点总结，包括导数概念、微分概念、导数与微分的几何意义、求导公式、求导法则等内容。

导数与微分

• 导数
  • 导数的概念：导数,也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx
    • 函数在一点处的导数
    • 左导数、右导数
      • 左导数的意思是：函数f(x)在某点x0的某一左半邻域（x0-d,x0）内有定义，当△x从左侧无限趋近于0时，( f(x0 + △x) - f(x0))/ △x的左极限存在，那么就称函数f(x)在x0点有左导数，该极限值就是左导数的值。即指改点领近区域左边的导数。
      • 右导数的意思是：函数f(x)在某点x0的某一右半邻域（x0-d,x0）内有定义，当△x从右侧无限趋近于0时，( f(x0 + △x) - f(x0))/ △x的右极限存在，那么就称函数f(x)在x0点有右导数，该极限值就是右导数的值。即指改点邻近区域右边的导数。
    • 导数的几何意义、物理意义
      • 导数的几何意义：是该函数曲线在这一点上的切线斜率。导数的物理意义：导数物理意义随不同物理量而不同，但都是该量的变化的快慢函数，既该量的变化率，是函数的切线。如位移对求导就是速度，速度求导就是加速度，对功求导就是功的改变率等等。
    • 导函数
      • 如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)
  • 导数的运算
    • 利用导数定义求导数
      • 导数的定义：
      • 导数定义式一：
      • 导数定义式二：利用x - x0 = Δx变形得到
      • 导数的广义定义式：使用Ψ(h)代替Δx
      • 单侧导数：左、右导数
    • 分段函数在分段点处的倒数
      • 先看这个分段函数在分段点是否连续。 也就是先求函数在分段点的左右极限，左极限用左边的函数式求，右极限用右边的函数式求。 如果函数在分段点连续，就分别求分段点的左右导数，左导数用左边的函数式求，右导数用右边的函数式求。如果左右导数相等，则在分段点可导，导数就是左右导数值。 如果左右导数不相等，或至少其中一个不存在（含导数为无穷大的情况），则函数在分段点不可导。
    • 初等函数的导数
      • 导数的四则运算法则：1、(u+v)'=u'+v' 2、(u-v)'=u'-v' 3、(uv)'=u'v+uv' 4、(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
      • 反函数求导法则：反函数的导数是原函数导数的倒数。 如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)在区间Ix= {x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy 这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
      • 复合函数的求导法则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)； 2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；
    • 隐函数的求导
      • 方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；
      • 方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；
      • 方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；
      • 方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
    • 对数求导法
      • 幂值函数：转化为复合函数计算
      • 多个函数的乘积、乘方、开方：转化为隐函数计算
    • 由参数方程确定的函数的求导：y=φ(t)，x=ψ(t) 那么，t=ψ(-1)(x)，则：y=φ[ψ(-1)(x)] 再利用复合函数的链式求导法则—— y'=φ'[ψ(-1)(x)]·ψ(-1)'(x) 那么：y'=φ'[ψ(-1)(x)]·[1/ψ'(t)] 又因为t=ψ(-1)(x)，那么：y'=φ'(t)/ψ'(t) 参数方程：y=φ(t)，x=ψ(t)中，dy/dx=φ'(t)/ψ'(t) 参数方程求导主要就是利用这种方式，当然有些时候也可以将其化为一个方程，之后对得到的这个方程——即隐函数，求导，也是可以的。
    • 高阶导数：一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
      • 常用的高阶导数公式：
  • 可导与连续的关系
    • “可导一定连续，连续不一定可导。连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。可以说：因为可导，所以连续。不能说：因为连续，所以可导。”
• 微分
  • 微分的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。 如果函数 y = f(x) 在点x处的改变量△y =f(x0+△x)-f(x0)可以表示为△y =A△x+α(△x), 其中A与△x无关，α(△x)是△x的高阶无穷小，则称A△x为函数y =f(x)在x处的微分，记为dy，即dy =A△x，这时，称函数y =f(x)在x处可微。
  • 微分的几何意义：设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
  • 微分的计算
    • 基本初等函数的微分公式：
    • 微分的四则运算法则：设f(x), g(x)都可导，则： （1）d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x) （2）d(f(x) - g(x)) = df(x) - dg(x) （3）d(f(x) * g(x)) = g(x)*df(x) + f(x)*dg(x) （4）d(f(x) / g(x)) = [g(x)*df(x) - f(x)*dg(x)] / g2(x)
    • 复合函数的微分法则:
  • 微分的应用
    • 1.法线 我们知道,曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直,微分可以求出切线的斜率,自然也可以求出法线的斜率。
    • 2.增函数与减函数 微分是一个鉴别函数(在指定定义域内)为增函数或减函数的有效方法。
    • 3.变化的速率 微分在日常生活中的应用,就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。
  • 可导与可微的关系
    • 一、关系不同
      • 一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。 多元函数可微必可导，而反之不成立。即：在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。
    • 二、含义不同
      • 可微：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。
      • 可导：即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。