二次型

二次型知识总结，包括二次型综合、正定二次型、二次型的规范形，正、负惯性指数，合同，二次型的标准型等内容。

二次型

• 二次型的标准型
  • 1.求二次型的标准型——正交变换法
    • （1）写出二次型矩阵A
    • （2）求出A矩阵的特征值和特征向量
    • （3）改造特征向量（正交化、单位化）
    • （4）构造出正交矩阵Q写出标准型（注意特征值的顺序和正交矩阵Q对应特征向量顺序要一致
    • （5）x^TAx=y^TΛy
  • 2.求二次型的标准型——配方法
    • 先配X1，再配X2，最后处理X3
  • 题型总结
    • （1）给定二次型（可能含参）
      • 先预处理求参，再利用特征多项式求特征值
    • （2）没有给具体的二次型，给了矩阵A满足的关系式和其他条件
      • 要考虑到用实对称矩阵，利用定义和秩的知识求特征值
• 正、负惯性指数，合同
  • 两种题型
    • （1）已知条件求正负惯性指数
    • （2）已知正负惯性指数，建立不等式求参数
  • 两种方法
    • （1）特征值法
    • （2）配方法
  • 小结：等价、相似、合同
    • 等价 <=> r(A)=r(B)
    • 合同 <=> 正负惯性指数相同
    • 相似 <=> 实对称矩阵特征值相同
    • n阶矩阵A和B等价推不出A+kE和B+kE等价
    • n阶矩阵A和B相似可以推出A+kE和B+kE相似
    • n阶实对称矩阵合同推不出A+kE和B+kE合同
    • n阶实对称矩阵A和B相似，则A+kE和B+kE合同
• 二次型的规范形
  • 看到规范形，想到正负惯性指数，想到标准形，想到两种求标准形的方法（特征值和配方法）
  • 求解规范形
    • 有具体二次型的，可根据已知条件求出参数
    • 给了抽象的矩阵A，利用特征值和特征向量来解题
• 正定二次型
  • 1.判断二次型是否为正定二次型（一种是具体的二次型判断，一种是带参数的求参数范围）
    • （1）顺序主子式全大于0
    • （2）特征值全大于0
    • （3）配方法看正负惯性系数
    • （4）定义法：如果对于任意x不等于0，必有f=x^TAx>0，则称f为正定二次型，矩阵A是正定矩阵（注意逆否命题的应用：定义可理解为对于任意x不等于0，平方和形式的二次型所有项不全为0，则逆否命题当所有项全为0时，必有x=0；这样就简化为方程只有0解，则只要求｜A｜不等于=0就行）
    • 或者把平方的形式写为x^TD^TDx的形式，则A=D^TD 对称，知A正定<=>D可逆
  • 2.二次型的正定性的证明（首先记得检验A的对称性，再证明）
    • （1）证明特征值全大于0
    • （2）定义法：用坐标变换，熟悉x^Tx,(Ax)^T(Ax)
    • （3）与已知的正定矩阵合同
    • （A^Tx)^T(A^Tx)>0 <=> 对于任意x不等于0，A^Tx不等于0 <=> 即A^Tx=0只有0解
  • 3.已知A是正定矩阵，求正定矩阵B，使A=B^2
    • 先求A和对角矩阵Λ相似，再把对角矩阵分成Λ=Λ1✖️Λ1，则A=Q ΛQ^-1=Q Λ1 Λ1Q^-1=Q Λ1Q^-1Q Λ1Q^-1，记B=Q Λ1Q^-1，有A=B^2
• 二次型综合
  • 1.求正交矩阵
    • 就是求矩阵的特征向量，并且正交化、单位化。对于三维矩阵已知其中两个特征向量，求另一个利用不同特征值的特征向量相互正交来解
  • 2.求二次型
    • 就是求二次型对应的矩阵，利用Q^TAQ=Λ或Q^-1AQ=Λ
  • 3.求二次型的条件极值
    • 例如求二次型x^TAx在条件x1^2+x2^2+x3^2下的极值，用坐标变化x=Qy有x^TAx=y^TΛy=ay1^2+by2^2+cy3^2，x^Tx=(Qy)^T(Qy)=y^TQ^TQy=y^Ty，这样就变为求在条件y1^2+y2^2+y3^2=1下的最大值，找出f=a1^2+by2^2+cy3^2 <= n(y1^2+y2^2+y3^2)，则得最大值n
  • 4.要证明A与对角矩阵相似就是证明A有n个线性无关的特征向量
    • （1）r个非0特征值：由题意推导得A关于特征值的线性无关的特征向量（例如A^2=A，即A✖️A的按列分块的分块矩阵=特征值✖️A的按列分块的矩阵，由A的秩的条件，假设A的r个列向量是线性无关的，再把上式拆开相乘，则可证明r个线性无关的特征向量
    • （2）r个等于0的特征值：用基础解系证明
  • 5.几点要注意
    • （1）关于带参数的二次型一般就是根据题目条件来求其参数的取值范围