线性空间学习笔记

线性空间学习笔记，知识内容有线性空间的定义、性质、子空间、生成元集、线性相关性、基与维数、同构、线性函数、对偶空间等。

高等代数

• 线性空间
  • 定义
    • 8个条件
      • 设V是一个非空集合,F为数域，V的任意元素α与β加法满足
        • 交换律α+β=β+α
        • 结合律(α+β)+γ=α+(β+γ)
        • 零元素α+0=α
        • 负元素α+β=0
      • 对数域F中任意数k，h与α的数量乘法满足
        • 1α=α
        • 结合律k(hα)=khα
        • 分配律(k+h)α=kα+hα
        • 分配律k(α+β)=kα+kβ
    • 则称V为数域F上的线性空间，α等元素为向量
  • 性质
    • 零元素唯一
    • 负元素唯一
    • 0α=0；k0=0；(-1)α=-α
    • 若kα=0，则k=0或α=0
  • 子空间
    • W是V的子空间的充要条件
      • 若α，β∈W，则α+β∈W
      • 若α∈W,k∈F，kα∈W
    • 交与和
      • 若W1,W2都是V的子空间，W1∩W2也是V的子空间
      • W={α+β|α∈W1，β∈W2}称为子空间W1,W2的和，也是V的子空间，记作W1+W2
  • 生成元集
    • 设S为V的一个非空子集，其中元素的所有线性组合组成的集合W是V的子空间，如果U为V的子空间，若S包含于U，则W包含于U
    • 称W为S所生成的子空间，记作span(S)，称S为W的生成元集
    • span(S1∪S2)=span(S1)+span(S2)
  • 线性相关性
    • 对S的向量α1……αn若存在不全为0的c1……cn∈F，使得c1α1+……+cnαn=0，则称α1……αn线性相关，否则为线性无关
    • 若S1的每个向量可由S2的向量线性表示，则称S1可由S2线性表示，若S1,S2可相互线性表示，则S1,S2等价
  • 基与维数
    • S为V的线性无关子集，span(S)=V，称S为V的一个基，若S是有限集，则称V是有限生成的，称S的向量为V的基向量
    • 任意两个基等价
    • S为V的基的充要条件是S是V的极大线性无关子集
    • 基S所含向量个数称为 V的维数，记作dimV
    • dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)
    • 标准基
    • 基扩充定理
      • B1是子空间W的一个基，则必然存在B2是由V中n-m个向量组成的子集，使得B=(B1∪B2)是V的一个基
  • 基变换与坐标变换
    • 过渡矩阵A=BD，A，B为两个基，D为过渡矩阵
    • 向量在不同基的坐标 设向量在A，B的坐标为α，β，则α=D^(-1)β
  • 直和
    • 若W1+W2中每个向量α=α1+α2(α1∈W1,α2∈W2)的分解式是唯一的，则称和为直和记作W1⊕W2
    • 等价条件
      • W1+W2是直和
      • 零向量分解式唯一
      • W1∩W2={0}
      • W1的一个基是A,W2的一个基是B，则A∪B构成W1+W2的一个基
      • dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)
    • 设W是V的子空间则必然存在子空间U使得V=W⊕U
  • 同构
    • 定义
      • 若F上的两个有限维线性空间V，V'存在一个V到V'的同构映射，则称V与V'同构
      • 双射φ:V→V’若具有以下性质则称φ为V到V‘的同构映射，记作V≌V'
        • φ(α+β)=φ(α)+φ(β)，任意α，β∈V
        • φ(kα)=kφ(α)，k∈F
      • 双射
        • 既是单射也是满射
          • 单射：若α≠β，则φα≠φβ
          • 满射：对任意元素γ属于V'，存在α∈V，使φα=γ
    • 性质
      • φ0=0，φ(-α)=-φα
      • 分配律
      • V中向量线性相关的充要条件是V'对应向量线性相关
      • dimV=dimV'
      • 同构映射的逆映射与两个同构映射的乘积也是同构映射
    • F上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同
  • 线性函数
    • 定义
      • f是V到F的一个映射，若对V任意向量α，β满足
        • f(α+β)=f(α)+f(β)
        • f(kα)=kf(α)
    • 性质
      • f(0)=0,f(-α)=-f(α)
      • 分配律
    • 设{α1……αn}是一个基，则存在唯一线性函数使得f(αi)=ki，ki∈F
  • 对偶空间
    • V上线性函数的全体的集合记为L(V,F),其也是F上的线性空间，称为V的对偶空间，记为V*，V*≌V
    • dimV=dim(L,F)，若{α1……αn}为V的基，存在f1……fn使得fi(αj)=1(j=i),=0(j≠i)是唯一的，fi在α上的值就是α的第i个坐标，即fi(α)=xi
    • 上面定义的fi是L(V,F)的一个基，称为是αi的对偶基