标架与坐标

以下汇总了解析几何中标架与坐标，内容有笛卡儿标架、数乘向量、对应坐标成比例、向径、卦限、三角形重心坐标等。

1.5标架与坐标

• 定义1.5.1
  • 空间中的一个标架
    • 空间中的一个定点O
    • 连接三个不共面的有序向量e1,e2,e3的全体
      • 记做{O；e1,e2,e3}
  • 笛卡儿标架
    • e1,e2,e3都是单位向量
  • 笛卡儿直角标架(简称 直角标架)
    • 两两相互垂直的笛卡儿标架
  • 在一般的情况下，{O；e1,e2,e3}叫做仿射标架
  • 右旋标架(或称右手标架)
    • e1，e2，e3间的相互关系和右手的拇指，食指，中指相同
  • 左旋标架(或称左手标架)
    • e1，e2，e3和左手的拇指，食指，中指相同
• 定义1.5.2
  • r=xe1+ye2+ze3
  • 上式中，x，y，z叫做向量r关于标架{O；e1,e2,e3}的坐标或称为分量
  • 记做r{x,y,z}或{x,y,z}
• 定义1.5.3
  • 向径(或称位置向量)
    • 对于取定了标架{O；e1,e2,e3}的空间中任意点P
    • 向量OP叫做点P的向径，或称点P的位置向量
  • 向径关于标架{O；e1,e2,e3}的坐标x,y,z叫做点P关于标架{O；e1,e2,e3}的坐标
    • 记做P(x,y,z)或(x,y,z)
• 主题
  • 用到直角坐标系时
    • 坐标向量用单位向量i,j,k表示
    • 即用{O；i,j,k}表示直角坐标系
  • 用三条具有公共点O的不共面的轴Ox,Oy,Oz来表示空间坐标系
    • 记做O-xyz
      • O:空间坐标系的原点
      • 三条轴叫做坐标轴
      • 每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面
        • xOy平面,yOz平面,xOz平面
  • 卦限
    • 三个坐标面把空间划分成八个区域，每一个区域都叫做卦限
      • 第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限...
  • 向量r的坐标记做{x,y}
    • 点P的坐标记做(x,y)
• 定理1.5.6
  • 推论
  • 定比分点坐标
  • 三角形重心坐标
• 定理1.5.5
  • 三个非零向量a{X1,Y1,Z1},b{X2,Y2,Z2},c{X3,Y3,Z3}共面的充要条件
  • 推论:四个点Ai(xi,yi,zi)共面的充要条件是
• 定理1.5.4
  • 两个非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}共线的充要条件是
  • 对应坐标成比例
    • 即，X1/X2=Y1/Y2=Z1/Z2
  • 推论
    • 三个点共线的充要条件
• 定理1.5.3
  • 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积
• 定理1.5.2
  • 两向量和的坐标等于两向量对应坐标的和
• 定理1.5.1
  • 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标