线代（特征值与特征向量）

线性代数知识总结，下图内容为特征值与特征向量思维导图笔记，内容具体清晰实用性强，分享给大家一起使用。

特征值与特征向量

• 本章本质
  • 围绕AP=λP这个公式的一系列结论和性质，进而变形成|λE-A|P=0这个特征向量，转化成齐次线性方程组求解向量的问题
• AP=λP
  • 满足这个等式的常数λ称为n阶方阵A的特征值
  • 满足这个等式的n维向量P称为n阶方阵A的特征向量
  • 需要记忆相关的特征值和特征向量的快速求法表格
  • 特征值和特征向量的几个性质
    • n阶方阵A在复数域内有且只有n个特征值（k重特征值看作k个）
    • λ1+λ2+...+λn=tr(A);λ1λ2...λn=|A|
    • 特征值、特征向量与AP=λP互为充要条件
    • 互异特征值对应的特征向量一定线性无关
    • 设λ1，λ2，...λm是方阵A的互异特征值，Pi1，Pi2,...Piri是λi（i=1，2,...,m)对应的线性无关的特征向量，则P11，P12,....,Pm1,Pm2,...,Pmrm线性无关（P126)
• 相似矩阵P-1AP=B
  • 称A与B相似，可记为A~B
  • P-1AP=B称为对A进行相似变换；P称为相似变换矩阵
  • 如果相似变换矩阵P是正交阵，则称A与B正交相似；P-1AP=B称为对A进行正交相似变换
  • 性质：1、自反性、对称性、传递性
  • 2、若A与B相似，则A的k次方与B的k次方相似（k为正整数）
  • 3、若A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值、行列式及迹
  • 相似对角化
    • 不是所有的方阵都可以相似对角化
    • 当A可相似对角化时，与A相似的对角阵叫作A的相似标准形
    • n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
    • 设μ是n阶方阵A的k重特征值，P1,P2,...,Ps是μ对应的线性无关的特征向量，则s≤k(全为单特征值，则一定可相似对角化）
  • 实对称阵的相似对角化
    • 共轭矩阵
      • A的共轭的共轭仍为A；A+B的共轭=A的共轭+B的共轭
      • AB的共轭=A的共轭×B的共轭；AT的共轭=A的共轭的转置
      • 对于任一个复向量x，x共轭的转置乘以x≥0
    • 实对称矩阵的性质
      • 实对称阵A的特征值都是实数
      • 实对称阵A的相异特征值λ和μ分别对应的特征向量P和Q一定正交
      • 对于任意n阶实对称阵A，都存在正交阵Q，使得A相似变换为相似标准形
    • 正交相似变换矩阵的求法（大题）
      • 转化为求矩阵的相似对角化
      • 进一步转化为求矩阵的特征值和特征向量
      • 最后利用施密特正交化，求出正交矩阵Q和对角阵diag( , ,...)
• 正交一定线性无关，通过施密特正交化来实现正交
• 重点是求解