线代（向量）

线代有关向量的知识点整理。向量的定义，运算，向量的线性组合和线性表达。向量的线性相关性，向量组的极大无关组与秩，向量空间的知识考点。

向量

• 向量
  • • 定义：n个数a1,a2...an构成的有序数组，称为n维向量
    • 运算
      • 线性运算
      • 内积：（x,y)=xTy=yTx=对应元素相乘相加
        • 内积为零，两向量正交
• 向量的线性组合和线性表达
  • 向量组的线性组合
    • 对一个m维向量组a1,a2,...am
    • ΣKiai=k1a1+k2a2+...+kmam
      • 称为该向量组的线性组合（线性包括齐次性、叠加性）
  • 向量组与向量之间的线性表示
    • A=（a1,a2,...,am)是一个n维向量组
    • β为一n维列向量
  • 向量组之间的线性表示
    • 向量组B可由向量组A线性表示
      • r(B)≤r(B)=r(A,B)
      • r(A)=r(A,B)
    • 向量组B不可有向量组A线性表示
      • 向量组B中至少有一个列向量β不能由A线性表示
      • （a1,a2,...am)X=（β1，β2，...βs)无解
      • r(A)≠r(A,B)
    • 向量组A与向量组B等价(两向量组可以互相线性表示）
      • 充要条件：r(A)=r(B)=r(A,B)
      • 注意：等价的向量组的秩相等，但秩相等的向量组不一定等价
• 向量的线性相关性（A=(a1,a2,...am))
  • 线性相关
    • 存在k1,k2,...km不全为零使ΣKiai=k1a1+k2a2+...+kmam=0成立，称a1,a2,...am线性相关
    • Ax=0有非零解
    • 当A为方阵时，|A|=0
    • 至少存在一个ai可由其余m-1个向量线性表示
    • r(A)≤向量的个数m
    • 包含零向量的任何向量组都是相关的
  • 线性无关
    • （与上方对应）全为零，则a1,a2,...am线性无关
    • Ax=0只有零解
    • 当A为方阵时，|A|≠0
    • r(A)=m
• 向量组的极大无关组与秩
  • 极大无关组
    • 向量组的极大无关组B
      • 1、该部分向量组线性无关
      • 2、向量组A中的任意向量都可由它们线性表示
    • 极大无关组定理
      • 1、向量组A线性相关的充要条件是r(A)＜向量组中里列向量的个数
      • 2、向量组线性无关的充要条件是r(A)=向量组中的列向量的个数
    • 极大无关组的选取
      • 极大无关组不唯一
      • 只含有零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为零
      • 选取最简阶梯矩阵上的非零向量：选取的个数就是矩阵的秩
  • 向量组的秩（三秩相等定理）
    • 若向量组中存在r个线性无关的向量，且任何r+1阶向量都线性相关，称数r为向量组的秩
    • 极大无关组所包含的向量个数就是向量组的秩
    • 性质
      • 1、若B=（β1，...,βt)可由A=（a1,...as)线性表示，则r(B)≤r(A）
      • 2、若B=（β1，...,βt)可由A=（a1,...as)线性表示，且t大于s,则B向量组必定线性相关
        • 推论：无关向量组不能由比它个数少的向量组线性表示
      • 3、由A做初等行变换得到向量组B，向量组B的相关性和A相同
• 向量空间
  • 什么是向量空间？向量空间是n维向量的集合，且对向量的加法数乘封闭
  • 如何判断一个集合W是否为向量空间子空间？
    • 判断方法：检查W对向量的加法和数乘是否在W内封闭，若封闭，则w是向量空间的子空间
    • 若为子空间，w中向量组的极大无关组就是向量空间的基，也就是向量空间的维数等于向量空间的秩
  • 向量空间的坐标与变换
    • 坐标的定义（P112)
    • 基变换：B=AP，坐标关系（坐标变换）为x=Py(P为过度矩阵）
  • 规范正交基
    • 正交基：当向量空间V的一个基为正交向量时，则称这个基为V的正交基（当（a,b)=0时，称向量a与b正交）
    • 当V的基为标准正交向量组时，则称这个基为标准正交基
      • 求标准正交基的解题思路
        • 首先判断向量组的秩为多少，秩为基中向量的个数
        • 对基中的向量进行施密特正交化并进行单位化，从而得到一组标准正交基
• 可以用第一条性质+向量组的线性相关性定理判断，r(B)≤r(A),t大于s,说明r(B）小于t，故B一定线性相关
• 极大无关组的本质：向量组中一个拥有数量最多线性无关向量的部分向量组
• 性质
  • 1、线性无关+向量组仍无关
  • 2、线性相关-向量组仍相关
  • 3、m个n维向量组成的向量组，n小于m则向量组一定线性相关
  • 4、向量组a1，a2，...,ar线性无关，β，a1,a2,...ar线性相关，则β可由a1,a2,...ar线性表示，且表示方法唯一
  • 推论：n个线性无关的n维向量可以表示任意的n维向量