高等数学上册（高等教育出版社）

高等数学上册（高等教育出版社）思维导图，包括函数与极限、一元函数微分学及应用、微分方程、一元函数积分学及应用等内容。

高等数学上册

• 函数与极限
  • 基本概念
    • 领域
    • 函数概念
    • 函数的集中特性
    • 反函数与复合函数
    • 基本初等函数与初等函数
  • 数列极限
    • 数列极限的概念
    • 数列极限的性质
  • 函数极限
    • 函数极限的概念
    • 函数极限的性质
  • 两个重要极限
    • 夹逼准则 第一重要极限
    • 单调有界准则 第二重要极限
  • 函数极限进阶
    • 无穷大
    • 无穷小
      • 无穷小的比较
  • 函数的连续性
    • 函数连续的定义
    • 函数的间断点
    • 连续函数的有关定理
    • 闭区间上连续函数的性质
• 一元函数微分学及应用
  • 导数的基本概念
    • 求某点处的导数值
      • 利用定义，将某点处的导数转化为极限的计算
      • 若已知函数表达式，在表达式不复杂的情况下，可以先求导函数再求导数值
    • 分段函数分段点处的可导性
      • 分段点处的导数用定义单独研究，计算其左导数和右导数，若左右导数存在且相等则说明该店可导
    • 利用导数的定义求极限
      • 结合极限式子的结构，适当选取函数，转化为某点处的导数，将极限的问题转化为某点处导数的问题
    • 利用导数定义求解函数表达式
      • 当题目中出现某点的导数值或某点导数存在的语句，常用导数的定义将其转化，并结合已知
  • 导数的运算
    • 公式法
    • 莱布尼兹公式
      • 可看为两个函数乘积的函数求导，可以使用此方法
    • 分段函数的导数
      • 分段点处导数用定义单独计算
      • 其他段直接计算即可
    • 高阶导数的计算
      • 公式法
        • 结合一般函数的n 阶导公式代入计算即可
      • 归纳法
        • 通过求函数的一阶导、二阶导、三阶导等找出规律，归纳高阶导数形式，再用数学归纳法证之即可
      • 莱布尼兹法
        • 乘积函数可考虑
    • 反函数的导数
      • 若一个函数在一定区间内单调可导，那其反函数同样可导
    • 隐函数的导数
      • 两边直接对变量求导
        • 对x 求导则 y 是关于 x 的一个表达式，对 y 求导时需将其作为复合函数求导
      • 利用隐函数公式计算
    • 对数求导法
      • 对于多个式子乘积组成的函数表达式可以采用先两边取对数化简再求导
    • 参数方程的导数
      • 链式法则
    • 复合函数的导数
      • 链式法则
  • 函数的微分
    • 微分的定义
    • 微分公式和运算
    • 参数方程所确定函数的导数
    • 微分在近似计算中的应用
  • 高阶导数和高阶微分
    • 高阶导数
    • 高阶微分
  • 微分学基本定理
    • 基本定理
    • 洛必达法则
      • 对于计算0/0或者∞/∞的极限可以使用
  • 泰勒公式
    • 求解麦克劳林公式中的系数
    • 写出函数的泰勒展开式
    • 利用泰勒公式计算极限
    • 利用泰勒公式证明命题
  • 函数图形
    • 曲线的极值与单调性
      • 单调性
        • 一阶导大于零递增、小于零递减
        • 一阶导为零点为函数的驻点
        • 一阶导的变号零点既是函数的驻点，同时也是极 值点
      • 极值
        • 利用一阶导数研究函数单调性，从而得出最值点、极值点
        • 利用一阶导为零得出驻点，再根据驻点处的二阶导数正负（大于0为极小值点，小于0为极大值点）判断
    • 曲线的凹凸性与拐点
      • 二阶导大于零为凹函数、小于零为凸函数
      • 二阶导的变号零点为函数的拐点
    • 曲线的渐近线
  • 方程的近似解
    • 二分法
    • 切线法
• 微分方程
  • 一阶微分方程
    • 微分方程的基本概念
    • 可分离变量方程
    • 齐次方程
    • 一阶线性微分方程
    • 伯努利方程
  • 可降解的微分方程
    • 型微分方程
    • 型微分方程
    • 型微分方程
  • 二阶常系数线性微分方程
    • 齐次线性方程解的结构
    • 非齐次线性微分方程解的结构
    • 二阶常系数齐次线性微分方程
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程
  • 微分方程的应用
    • 一阶微分方程的应用
    • 二阶微分方程的 应用
• 一元函数积分学及应用
  • 不定积分
    • 原函数与不定积分的概念
    • 不定积分的性质
    • 基本积分公式
  • 不定积分的计算
    • 凑微分
      • 寻找局部原函数进行凑微分
      • 对局部求导寻找关系配凑后，再凑微分
    • 换元积分法
      • 三角换元
      • 倒代换
      • 根式代换
      • ...
    • 分部积分法
      • 原则“反对幂指三”或“反对幂三指”
    • 恒等变形
      • 三角
        • “1”的代换
        • 切化弦
        • 倍角公式
        • 积化和差、和差化积
        • 降次公式
        • ...
      • 有理分式
        • 多项式除法拆分式
        • 待定系数法拆分式
        • 倒代换
        • ...
      • 无理式
        • 换元
      • 特定式
        • 需结合问题具体分析
  • 定积分
    • 定积分问题举例
    • 定积分的定义及性质
    • 定积分的几何意义
    • 定积分的计算方法
      • 先算不定积分，然后牛顿-莱布尼兹公式
        • 凑微分
        • 换元法
          • 定积分换元时需保证与上下限一一对应
        • 分部积分
        • 恒等变形
      • 结合定积分的特性
        • 被积函数奇偶性
          • 当上下限关于原点对称常常考虑
        • 被积函数周期性
          • 结合被积函数的周期性，可以化简所求定积分
        • 区间再现
          • 在无法用不定积分的思想计算时，通过区间再现法的换元方式，常常可以解决，这是最后的“ 杀手锏“
  • 定积分的应用
    • 定积分的元素法
    • 定积分在几何学中的应用
      • 面积
      • 体积
        • 曲线绕坐标轴旋转而成所得体积
      • 弧长
    • 定积分在物理中的应用
  • 反常积分
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
    • 反常积分的审敛法 函数
  • 积分等式、积分不等式证明常用策略
    • 利用积分的计算方法，如：凑微分、分部积分、换元，根据题目所给条件使用计算方法稍作变形
    • 常数变易法（积分限变量化），经常构造函数去研究问题
    • 利用拉格朗日中值定理，在分区间拉格朗日的时候，常常拆积分再使用
    • 泰勒公式，对某个函数寻找一基点展开（注：有时会取两点代入或两点展开后，做加减再结合介值定理将两个中值化为一个中值）
    • 利用放缩法或学过的不等式工具，如：基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式
    • 利用微分中值定理的解题思想解决问题（有时将含积分号的式子设为一个函数再尝试问题的研究）
    • 利用积分中值定理（将所给式子改写）
• 均考察公式的运用