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线性代数
行列式
行列式的概念
行列式是所有取自不同行不同列的n个数的乘积的代数和（共n!项）
注意逆序数!
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等
对换行列式的两行（列），行列式变号
行列式的某一行（列）中的所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0
若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2的n次幂个行列式
把行列式的某一行（列）的各元素乘同一个数然后加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式不变
行列式的计算
余子式和代数余子式
余子式(Mij)
代数余子式(Aij)
行列式的任一行与另一行的 代数余子式乘积之和为零
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和
行列式某一行如果除了一个元素其他元素均为0，那么 这个行列式就等于这个元素与它的代数余子式的乘积
几个重要的公式
上三角，下三角（等于主对角线元素乘积）
副对角线
范德蒙德行列式
行列式的应用
克拉默法则
方阵的行列式
判断矩阵的可逆性：若|A|≠0，则A可逆
矩阵
矩阵的概念及运算
概念
由m×n个数排成的m行n列的数表，称为m×n矩阵
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶方阵
运算
矩阵的加法 同型矩阵才能相加
数与矩阵相乘 一个数乘矩阵就是乘于矩阵的每一个元素
矩阵与矩阵相乘 只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数， 才能相乘
矩阵的转置
把矩阵的行换成同序数的列所得的矩阵
运算规律
(A∧T)∧T=A
(A+B)∧T=A∧T+B∧T
(λA)∧T=λ×A∧T
(AB)∧T=B∧T×A∧T
伴随阵的运算
二阶矩阵的伴随阵为主对角线元素互换， 副对角线元素变相反数
AA*=A*A=|A|E
分块矩阵的运算 （简化矩阵的一种方法，分割成块，以子块为元素）
几种特殊的矩阵
行矩阵，列矩阵 只有一行或一列的矩阵（又称为“行向量，列向量”）
单位阵 主对角线元素都为1，其余元素都为0
纯量阵 主对角线元素都为一个相同的常数，其余元素都为0
对角阵
主对角线以外的元素全为0的矩阵
对角阵的运算
对称阵 元素以对角线为对称轴对应相等（A∧T=A）
反对称阵 元素以对角线为对称轴对应成相反数， 且主对角线元素都为0（A∧T=－A）
正交矩阵
概念: A∧T×A=E(即A∧－1=A∧T)
充要条件: A的列向量都是单位向量，且两两正交
可逆矩阵
矩阵方程
AX=B（X=A∧－1×B）
XA=B（X=B×A∧－1）
矩阵可逆的充要条件：|A|≠0
逆矩阵是唯一的
(A∧－1)∧－1=A
(λA)∧－1=1/λ×A∧－1
(AB)∧－1=B∧－1×A∧－1
求可逆矩阵的方法
A∧－1=1/|A|×A*
初等变换法：（A | E）～（E | A∧－1）
几种常见的逆矩阵
对角阵的逆矩阵：对角线元素取导数
分块矩阵的逆矩阵：
矩阵可逆的充要条件
BA=E
|A|=0
R(A)=n
矩阵的初等变换
三种初等变换
对换两行
数乘某一行中的所有元
把某一行所有元的k倍加到另一行对应元上去
矩阵等价
A经过有限次初等变换变成B，则A～B
性质
A～A
若A～B，则B～A
若A～B，B～C，则A～C
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
标准形：左上角是一个单位矩阵，其余元全为0
初等矩阵
由单位阵经过一次初等变换得到的矩阵
初等矩阵都是可逆矩阵
表示初等变换
左乘——行变换
右乘——列变换
矩阵的秩
概念：若A中存在r阶子式不等于0，且所有的r+1阶子式若存在，均等于0，则称矩阵A的秩为r
m×n矩阵的k阶子式共有：
零矩阵的秩为0
行阶梯形矩阵非零行的行数就是它的秩
①0≦R(Am×n)≦min{m,n}
②R(A∧T)=R(A)
③若A～B，则R(A)=R(B)
④若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A)
⑤max{R(A),R(B)}≦R(A,B)≦R(A)+R(B)
⑥R(A+B)≦R(A)+R(B)
⑦R(AB)≦min{R(A),R(B)}
⑧若Am×nBn×l=0，则R(A)+R(B)≦n
向量及向量空间
概念及运算
向量：n个数组成的有序数列
向量组：若干个同维数的列（行）向量组成的集合
加法
数乘
内积
[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn
[x,y]=[y,x]
[λx,y]=λ[x,y]
[x+y,z]=[x,z]+[y,z]
当x=0,[x,x]=0； 当x≠0,[x,x]＞0
向量长度（范数）
当‖x‖=1，称x为单位向量
正交性
正交：当[x,y]=0，称x与y正交 （若x=0，则x与任何向量都正交）
正交向量组：一组两两正交的非零向量
标准正交基：n维向量e1,e2,…,er两两正交，且都是单位向量
标准正交化
线性表示
①向量b能由向量组A(a1,a2,…,am)线性表示的充要条件：R(A)=R(B) (B:a1,a2,…,am,b)
②向量组B能由向量组A线性表示的充要条件:R(A)=R(A,B)
③向量组A和向量组B等价的充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)
④向量组B(b1,b2,…,bl)能由向量组A(a1,s2,…,am)线性表示， 则R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am)
线性相关
概念: 存在不全为0的数k1,k2,…,km,使k1a1+k2a2+…+kmam=0
充要条件
①R(A)＜向量个数m
②方程组x1α1+x2α2+...+xnαn=0有非零解
③某个αi可由α1,α2,…,αn线性表示
充分条件
一个向量组如果含有了0向量，一定线性相关
若向量组A:a1,…,am线性相关，则向量组B:a1,…,am,am+1也线性相关
m个n维向量组成的向量组，当n＜m时一定线性相关 （n+1个n维向量一定线性相关）
线性无关
概念: 不存在不全为0的数k1,k2,…,km,使k1a1+k2a2+…+kmam=0
①R(A)=m
②方程组x1α1+x2a2+...+xnαn=0只有零解
③任意αi不能由其余的向量线性表示
若向量组A:a1,…,am线性无关，则向量组B:a1,…,am,am+1也线性无关
若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量， 则a1,a2,…,ar线性相关
向量组的秩
最大线性无关向量组
原向量组线性无关，再加入一个向量就线性相关， 就称原向量组是整个向量组的一个最大线性无关向量组
不唯一，但所含向量个数相同★
最大无关组中向量个数r就称为向量组的秩
只含零向量的向量组没有最大无关组，且它的秩为0
定理关系
向量组α可由向量组β线性表示→r(α)＜r(β)
两个等价向量组→r(Ⅰ)=r(Ⅱ)
r(A)=A的行向量组秩=A的列向量组的秩
向量空间
特征值，特征向量，相似矩阵
方阵的特征值
特征值和特征向量
Ax=λx，数λ称为矩阵A的特征值
非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量
特征值的和为对角线元素之和
特征值的积为矩阵行列式的值
相似矩阵
设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P∧－1×AP=B,则称B是A的相似矩阵 概念
反身性，对称性，传递性
A与B相似→r(A)=r(B)
A与B相似→|A|=|B|
A与B相似→f(A)=f(B)
A与B相似→A与B的特征值，特征向量相等
实对称矩阵
①实对称矩阵A的特征值都是实数
②实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正交
③实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个
实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵一定与对角矩阵正交相似
求解方法
求特征值
求特征向量
将每一个重特征值对应的 特征向量，先正交化再单位化
将求得的正交单位向量 作为列向量，排成一个n阶方阵
二次型
f=k1y1²+k2y2²+…+knyn² (只含平方项) 标准形
配方法
正交变换法
线性变换法
f=y1²+…+yp²－yp+1²－…－yr² 规范形
f=x∧TAx(A为对称阵) 矩阵表示
合同
对于n阶矩阵A,B，若有可逆矩阵C，使B=C∧T×AC，则称A与B合同
★等价，合同，相似之间的关系
相似必等价，等价未必相似
合同必等价，等价未必合同
相似未必合同，合同未必相似
正交相似矩阵必合同，正交合同矩阵必相似
实对称矩阵相似必合同，实对称矩阵合同未必相似
正定二次型 （f(x)=x∧TAx）
任取x≠0都有f(x)＞0,则称f(x)为正定二次型，并称对称阵A是正定的
判别方法
顺序子式
特征值都大于零
正定二次型的顺序子式都大于零
负定二次型
任取x≠0都有f(x)＜0，则称f(x)为负定二次型，并称矩阵A是负定的
奇数项顺序子式为负，偶数项顺序子式为正
惯性指数
正惯性指数: 二次型的标准型中正系数的个数
负惯性指数: 负系数的个数
线性方程组
齐次线性方程组
形式:
一般式
AX=0 矩阵形式
向量形式
解
至少有零解（不存在无解的情况）★
列（行）向量组线性无关只有零解
有非零解的充要条件: R(A)=n
基础解系
向量均为解向量
向量个数为n－r
向量之间组成线性无关向量组
解的性质
①若ξ1，ξ2为Ax=0的解，则ξ1+ξ2也是Ax=0的解
② 若ξ1为Ax=0的解，则kξ1也是Ax=0的解
③若ξ1，ξ2为Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2也是Ax=0的解
④若η1,η2为Ax=b的解，则η1－η2为Ax=0的解
非齐次线性方程组
形式
AX=b 矩阵形式
无解: R(A)＜R(A,b)
有唯一解: R(A)=R(A,b)=n
有无穷多解: R(A)=R(A,b)＜n
非齐次线性方程组的通解=对应的齐次线性方程组的通解+ ● 通解 非齐次线性方程组的一个特解
公共解与同解
Ax=0与Bx=0有非零公共解<=>(A,B)∧Tx=0有非零解 公共解
Ax=0与Bx=0同解<=>r(A) =r((A,B) ∧T )=r(B) 同解
