高等代数

本思维导图是关于第六章线性空间一章的知识体系总结，帮助大家更好的理解高等代数的具体内容，非常具有学习价值。

线性空间

• 集合与映射
  • 1| 集合
    • 基本概念
      • 集合
      • 集合相等
        • 子集
    • 基本性质
      • 互异性，无序性，确定性
    • 集合表示方法
      • 列举法，描述法
    • 两种运算
      • 并集：A∪B=｛a｜a∈A或a∈B｝
      • 交集：A∩B=｛a｜a∈A且a∈B｝
      • 运算侓：
        • A∪B=B∪A
        • （A∪B）∪C=A∪（B∪C）
        • A∩B=B∩A
        • （A∩B）∩C=A∩（B∩C）
        • A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
  • 2| 映射
    • 基本概念
      • 映射：原像和像（f：M→M′）
        • 注：①M中任意一个元素在M′中都有像
        • 注：②M中每个元素的像都是唯一的，若M=M′，则称f为M上的变换
      • 映射相等
    • n种特殊的映射
      • 单射：f：M→M′
        • 若任意a，b∈M，a≠b→f（a）≠f（b）逆否也成立
      • 满射：f：M→M′
        • 任意b∈M′，存在a∈M，使f（a）=b
      • 双射：既是单射又是满射
        • 一个有限集与其一个真子集之间不存在双射，但一个无限集有可能与其一个真子集之间存在双射
    • σ′σ（乘积）
      • σ：M→M′，σ′：M′→M′′，σ′σ：M→M′′，σσ′：M′′→M（注：①集合关系②相乘顺序）
      • 运算侓：不满足交换律，满足结合律
      • （σ′σ）a=σ′（σ（a））
    • 逆映射：定义及性质，i
• 线性空间的定义及性质
  • 1| 定义（满足加法和数量乘法运算+8种运算侓）
  • 2| 性质：4条
• 基，维数，坐标
  • 1| 基，维数（dimV）
    • 概念，定义（2个）
    • 性质
      • 线性空间的基不一定唯一，但不同基含向量个数相同
      • n维线性空间中n+1个向量一定线性相关
      • n维线性空间中任意n个线性无关的向量组可作成V的一组基
      • n维线性空间中，任意一组线性无关的向量都可以扩为V的一组基
      • 线性空间V中每个向量都可由其一组基唯一的线性表示
  • 2| 坐标
    • 概念
    • 性质（1定理，1推论）
• 基变换与坐标变换
  • 1| 基变换
    • 过渡矩阵（可逆）
  • 2| 坐标变换
• 子空间
  • 1| 子空间的概念和性质
    • 概念（非空，满足加法，数乘运算和8条运算侓）
    • 判断方法
      • 定理1（非空，关于数乘，加法封闭）
        • V1=｛0｝是零子空间（零子空间与V称为V的子空间平凡）
      • 定理2（非空，任意a，b∈P；α，β∈V1→aα+bβ∈V1）
  • 2| 运算
    • 交运算：设V1，V2是V的子空间，则V1∩V2仍为V的子空间
    • 子空间的和
      • 定义（V1+V2=｛α｜α=α1+α2，α1∈V1，α2∈V2｝）
      • 满足运算侓：①V1+V2=V2＋V1 ②（V1＋V2）＋V3=V1＋（V2＋V3）
      • 定理：两个子空间的和仍为子空间
    • 关于以上两种运算的n个结论（V1与V2为V的子空间）
      • V1∩V2是包含于V1，V2中的最大子空间
      • V1，V2是V1＋V2的子空间，V1＋V2是包含V1，V2的最小子空间
      • 等价的三个说法：①V1包含于V2 ②V1∩V2=V1 ③V1＋V2=V2
  • 3| 生成子空间
    • 概念
    • 性质（3个）
  • 4| 维数公式（V1，V2为n维线性空间V的子空间）
    • 定理：dim（V1＋V2）=dimV1＋dimV2－dim（V1∩V2）
    • 推论：若dimV1＋dimV2＞n，则dim（V1∩V2）≥1
• 子空间的直和
  • 1| 基本概念
    • 直和（分解式唯一）
    • 余子空间（如果两个子空间的和为直和，则互称为余子空间，且一个子空间的余子空间不唯一）
  • 2| 直和的判定（V1＋V2为直和的充要条件）
    • 定理1：零向量分解式唯一
    • 推论：V1∩V2=｛0｝
    • 定理2：dim（V1＋V2）=dimV1＋dimV2
  • 3| 有限维空间的分解：V1为n为线性空间V的子空间，则存在V中子空间V2，使V=V1＋V2
  • 4| 多个子空间的直和
    • 概念
    • 判定方法（4个等价性质）
• 线性空间同构
  • 1| 同构，同构映射的概念及性质
    • 概念（双射，保加和数乘运算）
    • 性质
      • 同构映射的性质（5个）
      • 同构关系的性质：①反身性 ②对称性 ③传递性
  • 2| 两个有限维线性空间同构的条件（维数相等）
• 数域P上的所有n维线性空间与Pⁿ同构