数学实验

数学实验导图笔记，知识点有MATLAB入门、MATLAB编程与作图、矩阵代数、函数和方程、应用微积分、常微分方程等。

数学实验（matlab）

• 第一章MATLAB入门
  • 1.1matlab桌面
    • M文件和数据文件
    • 脚本文件和工作区
  • 1.2数据和变量
    • 无需定义可直接使用
    • 变量名：字母开头数字下画线
  • 1.3数组及其运算
    • 数组[ ]
      • 同行（ 空格或，）
      • 不同（分号或回车）
      • 点运算（.*,./,.^）
    • a（b，c）b行c列
      • a（3）查询编址为3的元素
      • 2维时是按照列编址
  • 1.4字符串，元胞和结构体
    • 字符串’‘
    • （）元素，{}具体内容
    • （元胞）拼接时size（尺寸）相符
    • 组成结构体，字段名须一致
  • 主要命令
    • clear，save，load，linspace（1：10：3）将1-3等分为9个，length
    • prod（求积），abs，log，exp，min，max，sqrt,mod(取余)
    • factorial（阶乘），double（数值），char（字符），
    • str2num，num2str（数转为字符串），struct2cell（结构体转元胞）
    • 关系逻辑运算find（取“真”的编址），all（检验是否全为真），any（是否存真）
• 第二章MATLAB编程与作图
  • 2.1程序设计
    • 循环语句
      • for 变量=数组（：），命令组；end
      • while 条件式，命令组；end
    • 分支
      • if 条件一，命令组 1；else if条件二，命令2；....end
      • switch 变量，case1，命令1；case2，命令2；...otherwise命令k；end
    • 中断n秒（pause（n））
    • break（跳出循环）
    • ctrl+c强行停止循环
  • 2.1.2脚本文件
  • 2.1.3函数文件
    • function [输出变量]=函数名（变量）语句；end
    • 调用：函数名（变量赋值）
  • 2.1.4函数句柄，内联，匿名
    • 句柄：fname=@ab;ab(100)
    • 内联:fun=inline('表达式'，自变量名字符串)
    • 匿名：fun=@(自变量)表达式
  • 2.2作图
    • 常用命令
      • plot(3)，fplot，meshgrid，mesh，surf，contour（3）（等高线图）
      • title，（x，y，z）label，grid（格栅），hold，subplot（子图）
    • 曲线图plot（x，y’线性颜色标记‘），fplot（fun，[a,b]）,hold on(保留)，hold off
    • 曲面图[x y]=meshgrid(数组，数组)，mesh（x，y，z）
  • 主要命令
    • input，disp，help，imread，look for
    • feval（函数求值），inline（内嵌函数）
• 第三章矩阵代数
  • 3.1预备（线性代数）
  • 3.2矩阵代数的MATLAB命令
    • A.'（转置），共轭转A'，AX=b（X=B/A）
    • zeros（m，n），rand（m，n）（m行n列0-1分布）
    • trace（A）,diag，rank，det，inv，expm（级数和A^n/n!）
    • [V D]=eig(A)(V:特征值的特征向量（列）D：特征值对角矩阵)
    • [V J]=jordan(A)相似变换矩阵v^(-1)AV=J
    • p=poly(A)A的特征多项式的系数向量（入）
  • 3.3线性方程组求解
    • rref（[a,b]）化为行最简(a:系数矩阵，b：常数矩阵)
    • x0=b/a（特解），x=null（a,'r'）
  • 3.4投入产出分析
  • 主要命令
    • zeros，ones，eye（n），trace，diag（对角），rank，det，inv
    • eig(特征值，特征向量)，null（基础解系），poly（特征多项式），jordan（标准型分解）
• 第四章函数和方程
  • 4.2函数零点，极值和最小二乘拟合的命令
    • y=polyval（p,x）(p:多项式系数由高到低)
    • p3=conv(p1,p2)
    • [p3(商)，r(余项)]=deconv(p1,p2)
    • p=polyfit(x,y,k)(k次多相似拟合，p：降幂系数)
    • 4.2.3 零点
      • 步骤，先画图看零点大致区域fplot（fun，[a,b]）
      • x=fzero(fun,x0或[a,b])(x0附近零点或某一区间零点，只能一个零点)
      • [x,f,h]=fsolve(fun,x0)(x返回在x0附件的零点，f=fun(x)应趋于0，h>0可靠)
      • 方程组：function f=fun(x);f(1)=……；f(2)=……；……；end（齐次方程）或匿名fun=@(x)[……；……；……]；再[x,f,h]=fsolve(@函数名，[x1,x2,……])或[x,f,h]=fsolve(fun，[x1,x2,……初值]）
    • 4.2.4极值
      • min/max(y)
      • [x,f]=fminbnd(fun,a,b)(x:极小值点，f:在(a,b)内的极小值)
      • [x,f]=fminsearch(fun,x0)(x于x0附近的极小值点，f为极小值)
    • 4.2.5非线性最小二乘拟合
      • [c,Q]=lsqcurvefit(fun,c0,x,y,lb,ub)(c:变量，fun(c,x),c0为c的预估值，x,y为样本，Q：误差平方和)
  • 4.3迭代法，线性化拟合
  • 主要命令
    • polyval（多项式求值），conv，deconv（多项式乘,除），root（根），polyfit（拟合）
    • fzero（一元函数实根），fslove（方程（组）数值求解），fminbnd（一元函数极值），fminsearch（多元极值），lsqcurvefit（曲线拟合）
• 第五章应用微积分
  • 5.1微积分基本概念
  • 5.2数值微积分命令
    • diff(x),diff(x,k)(k次差分)，[Fx,Fy]=gradient(表达式,x,y)
    • z=trapz(x,表达式)（y关于x的积分），z=intergral(fun,a,b)(于(a,b)上积分)
    • z=intergral2(fun,a,b,cx,dx)
  • 5.3计算：数值微积分
    • function d=deriv(fname,a,h0,e)(d:数值解，fname=f(x),h0初始步长,e精度要求)
    • h=h0;d=(fname(a+h)-fname(a-h))/2h(中心差商)；d0=d+2e;while abs(d-d0)>e,d0=d;h0=h;h=h0/2;d=(fname(a+h)-fname(a-h))/2h;end end后可在命令行窗口调用derive(fun,a,h0,e)(在a处的导数值)
  • 主要命令
    • diff（差分），gradient（数值导数和梯度），polyder（多项式求导）
    • quiver（方向导数），trapz（梯形积分），quadl/integral（高精度积分）
    • dblquad（矩形二重积分），integral2/3，quad2d（二重积分）
• 第六章常微分方程
  • 6.1常微分基本概念
  • 6.2解常微分命令
    • [t,y]=ode45(odefun,[a,b],[y1,y2,……])([a,b]为t的范围，y1,……为初值)
    • y'=……，再odefun=@(x)……再[t,y]=ode45(odefun,[a,b],[y1,y2,……])
  • 6.3Euler法和刚性方程组
    • function f=fun(t,y),f(1)=……；f(2)=……；f=f(:);end
  • 主要命令
    • ode45/23/113/23t（刚性）
    • deval(微分方程解的求值)
• 第七章符号计算
  • 7.1符号对象
    • 定义syms x y;
    • subs(s,x,x0),x=vpa(s)(s的数值结果)，x=vpa(s,n)
  • 7.2符号矩阵和函数
    • fun=symfun(s,[x,y])
    • 相当于定义了符号函数自变量为x，y即会得出fun（x,y）
  • 7.3符号微积分
    • limit(s,x,a,+'right/left'),symsum/prod(s,n,a,b)(返回s的通项n由a到b的和/积)
    • diff(s,x,n)s对x的n阶导，taylor(s,x,a,'Order',n)(s在a的n-1泰勒展开)
    • t=subs(t,[x,y],[a,b])(t中的x,y用a,b代替)
    • int(s,v,a,b)(s关于变量v从a到b的积分)
  • 7.4符号方程和微分方程
    • solve（方程/表达式，未知量）;syms x positive;再用solve得正解
    • [未知]=vpasolve([方程/表达式]，[未知量],[初值/范围])
    • s=dsolve('Dy=……'，'y(0)==','',……,'自变量')/dsolve(diff(f),diff(x)==,……)
  • 7.5便捷函数作图
    • fplot（@（x）……，[a,b]）
  • 符号计算，作图命令
    • syms,subs(变量替换)，factor(因式分解),expand，collect(合并同类项)，simplify
    • funtool(函数计算器)，limit（符号极限），diff（导）
    • taylor（展开），jacobian，solve(解方程)，vpasolve(数值解)，dsolve(解微分方程)
    • ezplot(便捷函数)，ezmesh,ezsurf,ezcontour
• 第八章随机模拟和统计分析
  • 8.1概率和统计基本知识
  • 8.2概率和统计的命令
    • 随机数生成
      • rand(m,n),randn(m,n)(正态)，randperm(N)(1,2,……N随机排列，randi(N,m,n)(1,2,……N的m行n列))
    • [h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)
    • [[h,p,ci,stats]=ttest[……]
  • 8.3随机模拟（Monte Carlo算法）