导图社区 数学分析的积分区分章
数学分析的积分区分章导图笔记，介绍了曲线积分、重积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、重积分的应用、含参量积分等。
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数学分析下（华东师范版）积分区分章
曲线积分&重积分&曲面积分&含参量积分
曲线积分
第一类曲线积分（定积分的升维）
几何意义：柱面的面积；被积函数为1时，意义为曲线的弧长
计算：化为定积分算
记忆：因为几分区域变三维（柱体），与定积分相比区间变曲线，被积函数是柱体的高度函数
第一型曲线积分的题型
直接计算第一型曲线积分
根据他的几何意义算已知线密度函数的曲线的质量
已算完
第二型曲线积分
几何意义：（物理）力沿有向曲线所做的功
计算：1.转定积分（怎么把直线的一般方程转化为参数方程）进行计算 2.格林公式（万能）3.运用曲线积分与路径的无关性（求偏导：Q～x；P～y）（写式子：Q～y；P～x）
记忆：第二类曲线积分在第一类曲线积分的基础上添加了方向，因此我们引入了“格林公式”
第二型曲线积分的题型：
直接计算第二型曲线积分or在力的作用下所做的功
利用它的几何意义求力所做的功
两类曲线积分之间的联系（有典型的例题（还涉及到了条件极致）
重要！！！
第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
重积分
二重积分
几何意义：曲顶柱体的体积，当被积函数为1时，意义为投影区域的面积
计算：1.直角坐标系下“x型区域”&“y型区域”化累次积分（后积先定限，限内画条线）2.格林公式（正向+图形封闭）化第二类曲线积分3.运用曲线积分与路径的无关性
记忆：积分区域是二维的平面Dxy，与第一型曲面（注意是曲面）积分有联系
二重积分的题型：
证明习题21.1T4
（易忘）运用格林公式计算Sd（化为二次曲线积分）
曲线积分与路径的无关性
计算二重积分&第二类曲线积分
求二元全微分的原函数
求第二类曲线积分（涉及格林公式，第一，二类曲线积分的转化）
直角坐标系下二重积分的运算
二重积分的变量变换（一般变换，极坐标变换（雅各比行列式=r，广义极坐标变换（雅各比行列式等于abr）））
根据其定义算曲面所围立体图形的体积
三重积分
几何意义：被积函数为密度函数～求立体图形的质量（曲顶柱体的质量），当被积函数为1时，意义为立体图形的体积
计算1。坐标平面投影法（先定后二重）2.坐标轴投影法（先二重后定）3.换元法（柱面坐标，球坐标，广义球坐标）
记忆：二重积分的进阶啊，变成质量了
三重积分的题型（重在计算）
直角坐标系下计算三重积分（化三重积分为累次积分）以z轴为例
坐标面投影法（先定后二重）（切丝）这里的投影是投影到坐标平面上形成一个区域Dxy（联立去消去那个剩下的两（最大区域））
坐标轴投影法（先二重后定）（切片）这里的投影是说拿垂直于你投影的那个坐标轴的线去截曲体，截出来的图形的方程Dz
记忆：方法中涉及到的面&轴即可代表投影得来的方法
去区别投影
（快记！！！）换元法计算三重积分
柱面坐标坐标变换（雅各比行列式=r）
球坐标变换（雅各比行列式=r^2sin半顶角）
广义球坐标变换（雅各比行列式=abcr^ 2sin半顶角）
千万千万要记得加雅各比行列式
自己总结的纯代数方法的三重积分换序
根据几何意义 计算下列曲面所围成的体积（有点难）p234 T4
第一型曲面积分（积分变量：大写S）
几何意义：空间物质曲面的质量，被积函数是曲面的面密度，当被积函数为1时，表示曲面块S的面积
计算
第一型曲面积分化二重积分运算
当s由参数方程给出时（带一个根号部分别忘了）
算曲面所围立体图形的表面积
第二型曲面积分（与第一类曲面积分区别是dS是向量而非积分变量（写开积分变量dxdy or dydz or dzdx），与二重积分区别是积分区域是曲面S）
几何意义：速度向量v在单位时间内从曲面s的负侧流向正侧的总流量
计算：
化为二重积分（积分区域是D）（一般形式&参数形式4种）
两类曲面积分的联系（直接化为第一类曲面积分&第一类曲面积分为桥梁将第二类曲面积分化为xy型第二类曲面积分or yz型曲面积分or zx型第二类曲面积分）首先就要划分S判断符号
通过高斯公式转换为三重积分计算（注意条件（封闭+连续，偏导连续））
子主题
与三重积分可以通过高斯公式转换
重积分的应用
曲面的面积
质心
转动惯量
引力
计算计算！！！
含参量积分
