导图社区 线性代数思维导图
作者整理了一份线性代数内容整理的思维导图,非常适合作为一个复习大纲,大一复习可用,需要的小伙伴们快下载起来吧。
编辑于2021-12-27 17:50:24线性代数
向量与空间
向量
数量乘法&数量积
1a=a
λ(μa)=(λμ)a
λ(a+b)=λa+λb
(λ+μ)a=λa+μa
a·a=|a|^2
a·b=b·a=|a||b|cos<a,b>
(λa)·b=λ(a·b)
a·(b+c)=a·b+a·c
向量积&混合积
|a×b|=|a||b|sin<a,b>
a×a=0
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)
(a,b,c): (a×b)·c=a·(b×c)
向量の坐标
a±b=(x1±x2)i+(x1±x2)j+(x1±x2)k
a·b=x1x2+y1y2+z1z2
a×b=
空间
平面方程
点法式方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (法向量n=x0i+y0j+z0k)
一般方程:Ax+By+Cz+D=0 (法向量n=Ai+Bj+Ck)
已知一点和法向量求一面
已知三点求一面
已知一点和一轴求一面
点到面的距离:
截距式方程: (a、b、c分别为对应轴上的截距)
已知三向量求一面(混合积为0)
已知不共线三点求一面
平面间の关系
平行:法向量共线/法向量分量成比例
相交:法向量不共线/法向量分量不成比例
重合:法向量共线且两平面存在公共点
直线方程
点向式方程/对称方程:(方向向量v=Xi+Yj+Zk)
已知两面相交求相交直线(v=n1×n2)
已知一点与方向向量求一直线
线与线间の关系(P1、P2分别为两线上一点)
平行:方向向量共线
重合:P1P2,v1,v2共线
相交:方向向量共线且(P1P2,v1,v2)=0
异面:(P1P2,v1,v2)≠0
线与面间の关系
平行:AX+BY+CZ=0
线在面上:AX+BY+CZ=0且Ax0+By0+Cz0+D=0
相交:AX+BY+CZ≠0
垂直:存在实数λ使得 n=λv
点到线的距离:d=
一般方程:
两点式方程:
已知两点求一直线
行列式
=D=a11M11-a21M21+…+(-1)^(n+1)an1Mn1=a11A11+a21A21+…an1An1
三角形行列式:D=
转置行列式:D=
克拉莫法则の推论:若系数行列式不为零,则x只有零解;若系数行列式为零,则x有非零解
矩阵
加法&数乘运算&幂运算
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
A+O=A(O为零矩阵)
A+(-A)=O
1A=A
(kl)A=k(lA)=l(kA)
(k+l)A=kA+lA
k(A+B)=kA+kB
|λA|=λ^n|A|,若|A|≠0,则称A为非退化矩阵(或称A为非退化的)
(A^k)^l=A^kl=(A^l)^k
乘法分配律
结合律:(AB)C
左分配律:(A+B)C=AC+BC
右分配律:A(B+C)=AB+AC
k(AB)=(kA)B=A(kB)
矩阵转置の运算规律
=A
=AT+BT
=kAT
=BTAT
对称矩阵:AT=A
反称矩阵:AT=-A
|AT|=|A|
分块矩阵の转置:先对总体进行转置后再对子矩阵进行转置
准对角矩阵の运算
A±B=
kA=
AB=
(A^(-1)同理)AT=
逆矩阵
A^(-1)A=E
A^(-1)=-A-E
[A,E]=[E,A^(-1)](只做初等行变换)
(只做初等列变换)
对角矩阵の逆矩阵:
n阶方阵A可逆的充要条件是A可以只用行/列初等变换化成单位矩阵(即A为满秩矩阵)
伴随矩阵
A^*为伴随矩阵,A^(-1)=
对角矩阵の伴随:
矩阵の初等变换
标准形:任意矩阵经过一系列(行&列)初等变换得
等价
A经过一系列初等变换得到B,则称A与B等价
两个m×n矩阵A,B等价の充要条件:存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使B=PAQ
性质
自反性:任意m×n矩阵A与自身必等价
对称性:若A与B等价,则B与A也等价
传递性:若A与B等价,B与C等价,则A与C也等价
线性方程组
解线性方程组:将线性方程组变成矩阵方程AX=B,由[A,B]做初等行变换得[E,A^(-1)B],得X=A^(-1)B
消元法:对增广矩阵[A,B]做初等行变换化成阶梯形矩阵
若系数行列式等于零,则方程有无穷多解;若系数行列式不等于零,则方程有唯一解
对齐次线性方程组,若方程个数小于未知量个数(m<n),那么它必有非零解
n维向量空间&欧式空间
向量の加法&数乘运算:与矩阵相似,略
向量的内积:(α,β)=αβ'=a1b1+a2b2+…+anbn=βα'
对称性:(α,β)=(β,α)
可加性:(α1+α2,β)=(α1,β)+(α2,β)
齐次性:(kα,β)=k(α,β)=(α,kβ)
非负性:(α,α)≥0
柯西不等式:对n维欧式空间任意两个向量α、β,有|(α,β)|≤|α||β|,当且仅当α=kβ时,等号成立
线性相关性
若k有非零解,则线性相关;若k只有零解,则线性无关
若两个向量组可以互相线性表出,则这两个向量组等价
若α1、α2…αs可由β1、β2…βt线性表出,且α1、α2…αs线性无关,则s≤t
任意n+1个n维向量必然线性相关
两个等价线性无关向量组所含向量个数相等
秩
极大线性无关组所含向量的个数:向量组の秩
矩阵の秩
化为最简阶梯形矩阵的非零行个数
标准形的非零行个数
r(A^*)=
对于n阶矩阵A、B有AB=0,则r(A)+r(B)≤n
线性方程组的有解判定
非齐次线性方程组
当r(A)=r(A,B)=n时有唯一解
当r(A)=r(A,B)<n时有无穷多解
当r(A)≠r(A,B)时无解
由克莱默法则的推论判定解的个数:齐次线性方程组
线性方程组解の结构
齐次线性方程组:解向量组的维数=齐次线性方程组的维数-秩
非齐次线性方程组
特征值
AX=λX
|A|=λ1λ2…λn
迹:tr A=a11+a22+…+ann=λ1+λ2+…+λn
特征子空间:
特征矩阵:λE-A
特征多项式:|λE-A|
(λE-A)X=0
矩阵的相似:存在n阶可逆矩阵使
自反性:
对称性:
传递性:(相似矩阵都相似于同一个对角矩阵)
相似矩阵的迹(主对角线上元素之和)相等
几何重数:dim Vλ
代数重数:λ1=λ2=…=λi,i即为代数重数
C^(-1)AC为对角矩阵の充要条件
A在P上有n个特征根
对于A在P上的每个特征根λ,其代数重数都等于几何重数
正交矩阵:
对任意对称矩阵A总可以找到正交矩阵T使得T'AT为对角形(T不唯一)
T=[γ1,γ2,γ3,…](γ由α正交化得到β后再单位化得)
二次型:f(x1,x2,…,xn)
矩阵表达式:
二次型矩阵:A,二次型矩阵总是对称的;A的秩称为二次型的秩
矩阵的合同/相同:存在n阶可逆矩阵使
自反性:A与自身合同
对称性:若A与B合同,则B与A合同
传递性:若A与B合同,B与C合同,则A与C合同
二次型の标准形
线性替换:X=CY(替换后的秩相同)
若|C|≠0,则称为可逆的/非退化的/满秩的线性替换
若C为正交矩阵,则称为正交线性替换:f(x1,x2,…)=X^TAX=Y^T(X^TAX)Y=λ1y1^2+…+λnyn^2,当数域为R时,λ恰为A的n个实特征值
任意n阶对称矩阵A都合同与一个对角矩阵(称为A在P上的合同标准形)
二次型の规范形
正惯性指数(p)=λ>0的个数
负惯性指数(q)=λ<0的个数
符号差=p-q
正定二次型&正定矩阵
特征值判定法
顺序主子式判定法;对于正定矩阵A,有该正定矩阵
n级正定矩阵的秩=n