常微分方程

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程

常微分方程

• 基本概念
  • 微分方程
    • 联系着自变量，因变量，及这些导数或微分的方程
    • 常微分方程
      • 所讨论的未知函数是一元函数
    • 偏微分方程
  • 常微分方程形式
  • 常微分方程的阶数
    • 常微分方程的阶由方程中最高阶导数（微分）的阶数所决定
  • 常微分方程的解
    • 使常微分方程恒等于零的y的式子
  • 常微分方程的通解
    • 方程的解中含有互不相关的任意常数，且个数等于方程阶数
  • 常微分方程的特解
    • 把任意常数取特值，一般由初值条件得出
  • 初值条件
    • n阶常微分方程包含你个初值条件
      • 实际意义一般是事物的初始状态
      • 一阶常微分方程的初值条件是原函数的函数值在某点的值
  • 初值问题
    • 求常微分方程满足初值条件的解的值
• 可分离变量方程
  • 形式
  • 特点
    • 已解出一阶导数
    • 右端是关于x和y分别的函数相乘
  • 解法
    • 1.识别类型
    • 2.分离变量
    • 3.等号两边积分，加合适的常数
    • 4.化简得到通解
    • 5.判断有无初值条件
      • 有，代入得到特解
      • 无，考察此方程的根，这也是方程的解
        • 然后得到完整通解
• 齐次方程
  • 形式
  • 解法（变量替换）
    • 1.令
    • 2.带入方程化简，把y消去
    • 3.得到的是可分离变量的常微分方程
    • 4.依据可分离变量常微分方程解法求解
• 一阶线性常微分方程
  • 形式
    • 称为非齐次项
  • 时，称为一阶非齐次线性常微分方程
    • 记为（1）
  • 时，称为一阶齐次线性常微分方程
    • 记为（2）
  • 解法
    • 先解（2），由可分离变量方程解法解得其通解，含有一个任意常数
    • 常数变易
      • c变为u，u是关于x的函数
    • 把变易后的“通解”代入（1）
      • 一定有两项可以相互消去
        • 概要
    • 解得一阶线性常微分方程的通解
    • 常数变易法
    • 在之后的解题中也可以直接套用公式
      • 直接套用公式法
• 伯努利方程
  • 形式
    • α=0,是一阶线性常微分方程
    • α=1,是可分离变量型
  • 解法（变量替换）
    • 1.识别类型
    • 2.两边同时除以y的α次方
    • 3.令y的（α-1）次方等于z
    • 4.化为z关于x的一阶线性常微分方程
    • 5.按照一阶线性常微分方程的求解方法解
      • 一般采用带公式的方法
• 可降阶的二阶微分方程
  • 直接求导型
    • 形式
    • 降阶方法
      • 直接对等号两边求积分，记得加上常数，因为积分号此处表示原函数，记得要有两个常数才是通解
  • 不显含y，消去dy型
    • 形式
    • 解法
      • 1.识别类型
      • 2.换元消去dy，因为是对一阶微分换元，换元后就降阶了
      • 3.识别类型求解
      • 最后记得把元换回微分
  • 不显含dx，消去dx型
    • 形式
    • 解法
      • 1.识别类型
      • 2.换元消去dx，换元后就降阶了
      • 3.识别类型求解