群论

代数基础第二章群论知识总结，包括群的定义、群的种类和群的重点三部分内容，适用于考前复习，也可以综合其他资料使用。

群论

• 群的定义
  • 第一定义
    • 不空集合
    • 乘法封闭，结合律，ax＝b，ya＝b有解
  • 二定义
    • 非空集合
    • 乘法封闭，结合律，存在左单位元，左逆元
      • 至少存在一个左单位元：ea＝a
      • 至少存在一个左逆元：a逆a＝e
  • 三定义针对有限群
    • 非空集合
    • 乘法封闭，结合律，消去律
• 群的种类
  • 交换群
    • 任意元有ab＝ba
    • 循环群(是交换群)
      • 一个群每一个元都是某一个固定元a的乘方
      • 生成元：a
      • 例：模n的剩余类加群，整数加群
  • 变换群
    • 集合A的若干一一变换对于乘法做成的群
    • 任何一个群都同一个变换群同构
    • 特例：置换群
      • 有限集合的若干置换做成的群
      • 有限集合的一个一一变换叫做一个置换
        • 每个有限群与一个置换群同构
  • 子群
    • 判别
      • 1.a.b∈H推出ab∈H a∈H推出a逆∈H
      • 2.a.b∈H推出ab逆∈H
      • 3.对于有限子集， a.b∈H推出ab∈H
    • 陪集
    • 种类
      • 不变子群
      • 商群
        • 不变子群的陪集构成的群
• 重点
  • 群G只有一个单位元，一个逆元