高等数学

高数上的思维导图1到7章节，主要内容有函数、函数的分类、概念、专题、计算、应用。

高等数学

• 函数
  • 两要素
    • 定义域
      • 首先考虑！！！
    • 对应法则
  • 特性
    • 周期性
    • 奇偶性
      • 若f(x)为任意函数，即设G(X)=[f(x)+f(-x)]/2,在x的定义域内，为偶函数；G(x)=[f(x)-f(-x)]/2,为奇函数。
    • 单调性
    • 有界性
  • 基本初等函数
    • 幂函数
      • y=x^α(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数
    • 指数函数
      • 一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 [1] 注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数
    • 对数函数
      • 一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N(N>0)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
    • 三角函数
      • 角函数（也叫做"圆函数"）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
    • 反三角函数
      • 限制反三角函数为单值函数。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
• 函数的分类
  • 初等函数
  • 分段函数
    • 注重分段点，要验证其连续性和可导性等！！！
  • 复合函数
    • 求导时应注意链式法则
  • 幂指函数
    • 应用对数求导法则来解
  • 变积分上限函数
    • 若变积分上限函数可表示为一个等式，这时，可优先考虑通过求导来消去积分。
• 概念
  • 极限
    • 极限是某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。
  • 连续
    • 函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。
  • 导数（微分）
    • 导数是当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，即极限存在。 2、导数是函数的局部性质。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近
  • 不定积分
    • 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。
  • 定积分
    • 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分.
• 专题
  • 微分中值定理
    • 罗尔定理
      • 1 f(x)在[a,b]上连续
      • 2 在（a，b）内可导
      • 3 f(a)=f(b）
    • 拉格朗日中值定理
      • 1,2与上罗尔定理相同
      • 则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
    • 柯西中值定理
      • 如果函数f(x)及F(x)满足： (1)在闭区间【a，b】上连续； (2)在开区间(a，b)内可导； (3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0， 那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式 【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
    • 费马引理
      • 函数f(x)在点ξ的某邻域U（ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'（ξ）=0。
  • 微分方程
    • 微分方程的阶
      • 根据f(x)的最高阶层来判断最高阶
    • 微分方程的通解
      • 如果微分方程的解中含有任意常数C，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这就是通解。
    • 微分方程的特解
      • 根据初值条件，将其带入，算出C值，就是方程的特解（注意！！能在算式过程中带的值，可以求出C1，C2之类的，一定要先求出，这样才能减少计算量。）
    • 可分离变量的微分方程
      • 能把微分方程写成一边只含y和dy，一边只含x和dx的等式，那么这个微分方程就称为可分离变量的微分方程。（其中有些物理现象的常识性知识，比如衰变函数的系数为-λ，流量系数=0.62等)。
    • 齐次方程
    • 可化为齐次的微分方程
    • 一阶线性微分方程
      • 齐次线性方程
      • 伯努利方程
    • 可降阶微分方程
• 计算
  • 极限计算
    • 和差取大原则，洛必达法则，两个重要极限，特别注意无穷小替换时要
  • 导数（微分）
    • 首先要判断函数是否可导，在某个点可导的基本特征：在x0处 的左右极限存在且相等；基本的和，差，积，商求导（掌握），注：类似sinx或|x|的函数一定要小心判断在哪点导，因为它们在x=0处不可导！！！
  • 不定积分
    • 不管求积分怎么样，在最后处一定要写+C！！！一定。
    • 基本的不定积分求导公式要记熟，书上有24个，但根据教3要求，又补充了3个公式，都是常见公式，常考，所以教4也跟着记一下（具体找教3同学补充）。
    • 看到1+x^2就要想到用三角替换，x=tant;看到1-x^2就要想到用x=sint或x=cost,来代换；看到√1-x^2,就要想到arcsinx的导数，，看到1/1+x^2，就要想到arctanx的导数；在用分部求导法时，根据经验，"反，对，幂，指，三”，在前面的不放进去，处于后面的，将其融入dx中；如果是分母的有关x的幂大于分子，首先考虑有理数分式，其次考虑用倒数代换。
• 应用
  • 极限
  • 导数应用