线性代数与解析几何

详细总结了线性代数的知识点，包括：一、行列式；二、矩阵；三、几何向量及其应用；四、n维向量与线性方程组；五、线性空间与欧氏空间；六、特征值与特征向量；七、二次曲面与二次型；八、线性变换。

线性代数与解析几何

• 一、 行列式
  • 行列式的定义与性质
    • 2阶行列式与一类2元线性方程组的解
    • n阶行列式的定义
      • 定义1.1.1-n阶行列式
      • 定义1.1.2-余子式与代数余子式
      • 下三角行列式
    • 行列式的基本性质
      • 性质1.1.1
      • 性质1.1.2
        • 互换行列式两列的位置，行列式的值反号
      • 性质1.1.3
      • 推论1.1.1.
        • 若行列式D中的某行元素全为零，则D=0
      • 性质1.1.4
      • 性质1.1.5
      • 性质1.1.6
        • 若行列式D中有两行的对应元素都相等，则D=0
      • 推论1.1.2
        • 若行列式D中有两行的元素对应成比例，则D=0
      • 性质1.1.7
      • 性质1.1.8
  • 行列式的计算
    • 行和相等的行列式
    • 爪型行列式
    • 块对角行列式
    • 范德蒙德行列式
    • 三对角行列式
  • Cramer法则
    • 定理1.3.1-Cramer法则
    • 对于一个线性方程组，当它的常数项不全为零时，称它为非齐次线性方程组；当它的常数项全为零时，称它为齐次线性方程组.
    • 推论1.3.1
    • 推论1.3.2
      • 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零
  • 用MATLAB软件计算行列式
• 二、 矩阵
  • 矩阵及其运算
    • 矩阵的概念
      • 定义2.1.1-矩阵
        • • 当m=n时，称为n阶方阵或n阶矩阵
          • 零矩阵
          • 单位矩阵
          • 行矩阵（n维行向量）
          • 列矩阵（m维列向量）
          • 上（下）三角形矩阵
            • 主对角线下边的元素全为零的n阶方阵,称为上三角形矩阵. 主对角线上边的元素全为零的方阵，称为下三角形矩阵.
          • 对角矩阵
          • 正交矩阵
          • 幂零矩阵
          • 幂等矩阵
          • 对合矩阵
      • 定义2.1.2-矩阵相等
    • 矩阵的代数运算
      • 定义2.1.3-矩阵加法
        • 矩阵加法的运算规律
      • 定义2.1.4-数乘矩阵
        • 矩阵的数乘运算的运算规律
      • 矩阵的线性运算
      • 定义2.1.5-矩阵乘法
        • 矩阵乘法的运算规律
      • 方阵的幂
    • 矩阵的转置
      • 定义2.1.6-矩阵转置
        • 矩阵转置的运算规律
      • 对称矩阵
      • 反对称矩阵
        • 反对称矩阵的主对角线元素全为零
    • 方阵的行列式
      • 定义2.1.7-方阵的行列式
        • 方阵的行列式的运算规律（设为n阶方阵）
          • 行列式的乘法公式
  • 逆矩阵
    • 定义2.2.1-逆矩阵
      • 不存在逆阵的方阵也称为奇异方阵
      • 如果方阵A可逆，那么A的逆矩阵必是唯一的
      • 只有方阵才有可能存在逆矩阵，但并非任何方阵都是可逆的
    • 定义2.2.2-伴随矩阵
      • • • 同阶可逆矩阵A,B满足
    • 定理2.2.1
    • 推论2.2.1
    • 定理2.2.2-方阵可逆的充要条件
    • 推论2.2.2
    • 逆矩阵的基本性质-同阶可逆矩阵A,B满足
  • 分块矩阵及其运算
    • 子矩阵
      • 矩阵的若干行与若干列相交处的元素按原来的相对次序所构成的矩阵
      • 左上角的各阶矩阵称为前主子矩阵
    • 分块矩阵
      • 用一些横线和纵线将它分划成若干个矩形的子块
      • 分块矩阵的运算
        • 加法及数与分块矩阵的乘法
          • 同型矩阵作同样的分划
        • 分块矩阵的转置
        • 分块矩阵的乘法
          • 与一般矩阵的乘法法则一致
          • 要求左边矩阵A关于列的分法必须与右边矩阵的B关于行的分法相同
        • 分块对角矩阵（准对角方阵）
  • 初等变换与初等矩阵
    • 定义2.4.1-初等变换
      • 交换第i行与第j行的位置
      • 用非零数k乘矩阵的第i行
      • 把矩阵第i行的k倍加到第j行上去
      • 初等行变换
      • 把上述“行”换成“列”，为初等列变换
      • 初等变换
    • 定义2.4.2-矩阵等价
      • 矩阵等价的性质
        • 自反性
        • 对称性
        • 传递性
    • 定义2.4.3-初等矩阵
      • 对单位矩阵只作一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵，或初等方阵
    • 定理2.4.1
      • 设对m×n矩阵A施行1次初等行（列）变换得到的矩阵B，则B等于用一个与此初等变换对应的m(n)阶初等矩阵左（右）乘A所得的乘积矩阵
    • 定义2.4.4-阶梯形矩阵（行阶梯性矩阵）
      • 如果存在零行，则零行都在非零行的下边
      • 在任意两个相邻的非零行中，下一行的首非零行元都在上一行的首非零元的右边， 即从上到下，各非零行的首非零元的列标随着行标的递增而严格增大
    • 简化行阶梯形矩阵（行最简形）
      • 是阶梯形矩阵
      • 每个首非零元都是1，并且在每个首非零元所在的列中，除首非零元1以外的其他元素全都为零
    • 定理2.4.2
    • 定理2.4.3-设A为n阶方阵，则下列条件相互等价
      • A是可逆矩阵
      • A可经有限次初等行变换化成同阶单位矩阵I（即A行等价于同阶单位矩阵I）
      • A可表示成若干个初等矩阵之积
    • 定理2.4.4-设A，B都是m×n矩阵，则
  • 矩阵的秩
    • 定义2.5.1-矩阵的k阶子式
      • 在m×n矩阵A中，任意选定k行和k列（1≤k≤min{m,n}），位于这些选定的行和列的交叉点上的元素按它们原来的A中的次序所组成的A的k阶子方阵的行列式，称为A的一个k阶子式
    • 定义2.5.2-矩阵的秩
    • 定理2.5.1
      • 设矩阵A经若干次初等行变换变成了矩阵B，则r(A)=r(B),即行等价的矩阵有相同而的秩
    • 推论2.5.1
      • 设矩阵A经若干次初等列变换变成了矩阵B，则r(A)=r(B),即列等价的矩阵有相同而的秩
    • 用初等变换将矩阵化成阶梯形矩阵，则阶梯形矩阵中非零行的个数即是所求矩阵的秩
    • 推论2.5.2
    • 秩标准形
      • 任一非零矩阵A都可用初等行变换把它化成简化行阶梯形矩阵，如果再对其施行初等列变换，便可把它化成一个左上角是单位矩阵、其他元素全为零的矩阵B，显然B的左上角的单位矩阵的阶数就是A的秩，因此这样的矩阵B由A唯一确定，称B为A的秩标准形，或在等价意义下的标准形
    • 定理2.5.2
    • 满秩分解
  • 用MATLAB软件进行矩阵计算
• 三、 几何向量及其应用
  • 向量及其线性运算
    • 向量基本概念
      • 数量（标量）
      • 向量（矢量）
        • 长度（模、范数）
        • 单位向量
        • 零向量
        • 自由向量
        • 负向量
    • 定义3.1.1-向量加法的三角形法则或折线法则
      • 向量加法的运算规律
        • a+b=b+a
        • (a+b)+c=a+(b+c)
        • a+0=a
        • a+(-a)=0
    • 定义3.1.2-数乘向量
      • 数乘向量的运算规律
      • 向量长度的基本性质
    • 向量的线性运算
    • 向径
    • 定理3.1.1
    • 推论3.1.1
    • 定理3.1.2
    • 推论3.1.2
    • 定理3.1.3
    • 空间直角坐标系
      • 横坐标、纵坐标、竖坐标
      • 方向角、方向余弦
        • • 方向余弦的坐标表达式
      • 方向余弦的性质
        • 任一非零向量的方向余弦的平方和等于1
        • 单位向量的坐标就是它的方向余弦
      • 用坐标进行向量的线性运算
      • 用坐标表示向量共线、共面的充要条件
        • 共线
        • 共面
      • 线段的定比分点的坐标
    • 定义3.1.3-正交射影向量和正交射影
      • 正交分解
      • 射影的基本性质
  • 数量积、向量积、混合积
    • 定义3.2.1-数量积（内积、点积）
      • 数量积的性质
    • 定理3.2.1
    • 定义3.2.2-向量积（外积。差积）
      • 向量积的基本性质
      • 向量积在几何上可以求平行四边形的面积 可以求与两个向量都垂直的向量 可以判断两个向量是否共线
    • 定理3.2.2
    • 定义3.2.3-混合积
      • 混合积的几何意义
      • 混合积的坐标表达式
      • 混合积的性质
    • 定理3.2.3
  • 平面和空间直线
    • 平面的方程
      • 平面的点法式方程
      • 平面的一般式方程
        • • 通过原点
          • 平行于坐标轴
          • 通过坐标轴
          • 垂直于坐标轴
      • 平面的截距式方程
      • 平面的参数式方程
    • 两个平面的位置关系
    • 空间直线的方程
      • 直线的参数式方程
      • 直线的对称式方程
      • 直线的一般式方程
    • 两条直线的位置关系
    • 直线与平面的位置关系
    • 距离
      • 点到平面的距离
      • 点到直线的距离
      • 异面直线的距离
• 四、 n维向量与线性方程组
  • 消元法
    • n元线性方程组
    • 消元法
      • 利用矩阵的初等行变换将方程组对应的矩阵化成阶梯性矩阵、在有解时进而 化成阶梯形矩阵的方法，通常称之为高斯-若当消元法，简称消元法
        • 自由未知量
        • 约束未知量（非自由未知量）
        • 由自由未知量表示的通解
        • 矛盾方程组（不相容方程组）
    • 线性方程组的解
      • 定理4.1.1-线性方程组有解判定定理
      • 对于n元线性方程组Ax=b
      • 定理4.1.2
      • 推论4.1.1
      • 推论4.1.2
        • 设A为m×n矩阵，且m＜n，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0必有非零解. 即方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解
    • 数域
      • 如果数的集合F包含数0和1，并且F中任何两个数的和、差、积和商（除数不为零）都仍是F中的数，即F对数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）这4种运算都是封闭的，则称数集F是一个数域
        • 任何数域都包含有理数域
        • 有理数域
        • 实数域
        • 复数域
  • 向量组的线性相关性
    • 定义4.2.1-n维向量
    • 定义4.2.2
    • 定义4.2.3
    • 定义4.2.4-向量空间
    • 定义4.2.5-线性组合与线性表示
    • 定理4.2.1
    • n维基本单位向量组
    • 定义4.2.6-等价向量组
      • • 自反性：向量组(I)与(I)等价
        • 对称性：若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)与(I)等价
        • 传递性：若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价
    • 定义4.2.7-线性相关与线性无关
    • 定理4.2.2
    • 推论4.2.1
    • 推论4.2.2
    • 推论
    • 定理4.2.3
    • 定理4.2.4
    • 定理4.2.5
      • 部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关，则任何部分组线性无关
      • 含有零向量的向量组必线性相关；线性无关向量组必不含零向量
  • 向量组的秩
    • 定义4.3.1-极大无关组
    • 定义4.3.2-向量组的秩
    • 定理4.3.1
    • 定理4.3.2
    • 推论4.3.1
      • 如果向量组(I)，(II)都是线性无关组，且(I)与(II)等价，则(I)与(II)所含向量的个数必相同
    • 推论4.3.2
      • 设r(U)=r, 则U中任何r个线性无关的向量都可作为U的极大无关组
    • 定理4.3.3
      • 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示, 则r(I)≤r(II)
    • 推论4.3.3
      • 若向量组(I)与向量组(II)等价, 则r(I)=r(II)
    • 定理4.3.4
  • 线性方程组的解的结构
    • 性质4.4.1
    • 性质4.4.2
    • 定义4.4.1-基础解系
      • 与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系
      • 结构解
    • 定理4.4.1
    • 定理4.4.2
    • 导出组
    • 性质4.4.3
    • 性质4.4.4
    • 定理4.4.3-非齐次线性方程组解的结构定理
  • 用MATLAB软件解线性方程组
• 五、 线性空间与欧氏空间
  • 线性空间的基本概念
    • 定义5.1.1-线性空间
      • 线性空间也称为向量空间，因此也将线性空间的元素称为它的向量
      • • 加法和数乘（统称为线性运算）满足一下8条运算规律（其中α、β、γ是V中任意的元素，k,l是F中的任意数）
    • 性质5.1.1
      • 线性空间的零元素是唯一的
    • 性质5.1.2
      • 线性空间的任意元素的负元素是唯一的
    • 性质5.1.3
    • 性质5.1.4
    • 定义5.1.2-子空间
    • 定理5.1.1
    • 定义5.1.3-基, 维数与向量的坐标
      • • 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间，否则称V为有限维线性空间
    • 定义5.1.4-过渡矩阵
      • 基变换公式
    • 定理5.1.2
    • 定义5.1.5-线性空间的同构
    • 定理5.1.3
    • 定理5.1.4
    • 定理5.1.5-扩充定理
    • 定理5.1.6
    • 定理5.1.7
    • 定理5.1.8-维数公式
    • 定义5.1.6-子空间的直和
    • 定理5.1.9
    • 推论5.1.1
  • 欧氏空间的基本概念
    • 定义5.2.1-内积和欧氏空间
      • • 标准内积
    • 定理5.2.1-Cauchy-Schhwarz(柯西-施瓦茨)不等式
    • 定义5.2.2-向量的范数
      • • 范数的基本性质
    • 定义5.2.3-非零向量的夹角
    • 定义5.2.4-距离
    • 定义5.2.5-正交向量组与正交单位向量组
    • 定理5.2.2
    • 定义5.2.6-正交基与标准正交基
    • 定理5.2.3
    • 定理5.2.4-Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法
    • 定义5.2.7-正交矩阵
    • 定理5.2.5
    • 定义5.2.8
    • 定理5.2.6
  • 用MATLAB软件实现向量组正交化
• 六、 特征值与特征向量
  • 矩阵的特征值与特征向量
    • 定义6.1.1-特征值与特征向量
    • 定义6.1.2-特征方程、特征多项式与特征空间
    • 注意
    • 性质6.1.1
    • 性质6.1.2
    • 性质6.1.3
    • 性质6.1.4
    • 性质6.1.4‘
    • 性质6.1.5
  • 相似矩阵与矩阵的相似对角化
    • 定义6.2.1-相似矩阵
    • 定理6.2.1
      • • 这些命题的逆命题不真
    • 定理6.2.2-矩阵可对角化的充要条件
    • 推论6.2.1-矩阵可对角化的一个充分条件
    • 推论6.2.2-矩阵可对角化的充要条件
    • 实对称矩阵
    • 性质6.2.1
    • 性质6.2.2
    • 定理6.2.3
    • 推论6.2.3
    • 实对称矩阵的正交相似对角化过程
  • 应用举例
  • 用MATLAB软件计算矩阵的特征值、特征向量
• 七、 二次曲面与二次型
  • 曲面与空间曲线
    • 柱面
    • 锥面
      • • • 椭圆锥面
    • 旋转面
    • 典型的二次曲面
      • 椭球面
      • 单叶双曲面
      • 双叶双曲面
      • 椭圆抛物面
      • 双曲抛物面
    • 曲线在坐标面上的投影
  • 实二次型
    • 定义7.2.1-二次型
    • 定理7.2.1
    • 定义7.2.2-合同矩阵
    • 定理7.2.2
    • 定理7.2.3-惯性定理
    • 定义7.2.3-正定二次型与正定矩阵
    • 定理7.2.4
    • 定理7.2.5
    • 推论7.2.1
    • 定理7.2.6
    • 推论7.2.2
    • 定理7.2.7
    • 定义7.2.4
    • 二次曲面的标准方程
• 八、 线性变换
  • 线性变换及其运算
    • 定义8.1.1-线性变换
      • • 同构映射必是线性变换
    • 定理8.1.1
    • 定义8.1.2-核与值域
    • 定理8.1.2
    • 定理8.1.3-秩加零度定理
    • 定理8.1.4
    • 定理8.1.5
    • 推论8.1.1
    • 定义8.1.3-映射的乘积
    • 定理8.1.6
    • 定义8.1.4-可逆映射
    • 定理8.1.7
    • 定理8.1.8
    • 定理8.1.9
    • 定义8.1.5-线性变换的和与数量乘积
  • 线性变换的矩阵表示
    • 定理8.2.1
    • 定理8.2.2
    • 定理8.2.3
    • 定理8.2.4
    • 定理8.2.5
• 矩阵的秩
• 区分
  • 余子式
  • 代数余子式
  • 子矩阵
  • k阶子式

行列式

• 行列式的定义与性质
  • 2阶行列式与一类2元线性方程组的解
  • n阶行列式的定义
    • 定义1.1.1-n阶行列式
    • 定义1.1.2-余子式与代数余子式
    • 下三角行列式
  • 行列式的基本性质
    • 性质1.1.1
    • 性质1.1.2
      • 互换行列式两列的位置，行列式的值反号
    • 性质1.1.3
    • 推论1.1.1.
      • 若行列式D中的某行元素全为零，则D=0
    • 性质1.1.4
    • 性质1.1.5
    • 性质1.1.6
      • 若行列式D中有两行的对应元素都相等，则D=0
    • 推论1.1.2
      • 若行列式D中有两行的元素对应成比例，则D=0
    • 性质1.1.7
    • 性质1.1.8
• 用MATLAB软件计算行列式
• Cramer法则
  • 定理1.3.1-Cramer法则
  • 对于一个线性方程组，当它的常数项不全为零时，称它为非齐次线性方程组；当它的常数项全为零时，称它为齐次线性方程组.
  • 推论1.3.1
  • 推论1.3.2
    • 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零
• 行列式的计算
  • 行和相等的行列式
  • 爪型行列式
  • 块对角行列式
  • 范德蒙德行列式
  • 三对角行列式

矩阵

• 矩阵及其运算
  • 矩阵的概念
    • 定义2.1.1-矩阵
      • • 当m=n时，称为n阶方阵或n阶矩阵
        • 零矩阵
        • 单位矩阵
        • 行矩阵（n维行向量）
        • 列矩阵（m维列向量）
        • 上（下）三角形矩阵
          • 主对角线下边的元素全为零的n阶方阵,称为上三角形矩阵. 主对角线上边的元素全为零的方阵，称为下三角形矩阵.
        • 对角矩阵
        • 正交矩阵
        • 幂零矩阵
        • 幂等矩阵
        • 对合矩阵
    • 定义2.1.2-矩阵相等
  • 矩阵的代数运算
    • 定义2.1.3-矩阵加法
      • 矩阵加法的运算规律
    • 定义2.1.4-数乘矩阵
      • 矩阵的数乘运算的运算规律
    • 矩阵的线性运算
    • 定义2.1.5-矩阵乘法
      • 矩阵乘法的运算规律
    • 方阵的幂
  • 矩阵的转置
    • 定义2.1.6-矩阵转置
      • 矩阵转置的运算规律
    • 对称矩阵
    • 反对称矩阵
      • 反对称矩阵的主对角线元素全为零
  • 方阵的行列式
    • 定义2.1.7-方阵的行列式
      • 方阵的行列式的运算规律（设为n阶方阵）
        • 行列式的乘法公式
• 逆矩阵
  • 定义2.2.1-逆矩阵
    • 不存在逆阵的方阵也称为奇异方阵
    • 如果方阵A可逆，那么A的逆矩阵必是唯一的
    • 只有方阵才有可能存在逆矩阵，但并非任何方阵都是可逆的
  • 定义2.2.2-伴随矩阵
    • • • 同阶可逆矩阵A,B满足
  • 定理2.2.1
  • 推论2.2.1
  • 定理2.2.2-方阵可逆的充要条件
  • 推论2.2.2
  • 逆矩阵的基本性质-同阶可逆矩阵A,B满足
• 分块矩阵及其运算
  • 子矩阵
    • 矩阵的若干行与若干列相交处的元素按原来的相对次序所构成的矩阵
    • 左上角的各阶矩阵称为前主子矩阵
  • 分块矩阵
    • 用一些横线和纵线将它分划成若干个矩形的子块
    • 分块矩阵的运算
      • 加法及数与分块矩阵的乘法
        • 同型矩阵作同样的分划
      • 分块矩阵的转置
      • 分块矩阵的乘法
        • 与一般矩阵的乘法法则一致
        • 要求左边矩阵A关于列的分法必须与右边矩阵的B关于行的分法相同
      • 分块对角矩阵（准对角方阵）
• 用MATLAB软件进行矩阵计算
• 矩阵的秩
  • 定义2.5.1-矩阵的k阶子式
    • 在m×n矩阵A中，任意选定k行和k列（1≤k≤min{m,n}），位于这些选定的行和列的交叉点上的元素按它们原来的A中的次序所组成的A的k阶子方阵的行列式，称为A的一个k阶子式
  • 定义2.5.2-矩阵的秩
  • 定理2.5.1
    • 设矩阵A经若干次初等行变换变成了矩阵B，则r(A)=r(B),即行等价的矩阵有相同而的秩
  • 推论2.5.1
    • 设矩阵A经若干次初等列变换变成了矩阵B，则r(A)=r(B),即列等价的矩阵有相同而的秩
  • 用初等变换将矩阵化成阶梯形矩阵，则阶梯形矩阵中非零行的个数即是所求矩阵的秩
  • 推论2.5.2
  • 秩标准形
    • 任一非零矩阵A都可用初等行变换把它化成简化行阶梯形矩阵，如果再对其施行初等列变换，便可把它化成一个左上角是单位矩阵、其他元素全为零的矩阵B，显然B的左上角的单位矩阵的阶数就是A的秩，因此这样的矩阵B由A唯一确定，称B为A的秩标准形，或在等价意义下的标准形
  • 定理2.5.2
  • 满秩分解
• 初等变换与初等矩阵
  • 定义2.4.1-初等变换
    • 交换第i行与第j行的位置
    • 用非零数k乘矩阵的第i行
    • 把矩阵第i行的k倍加到第j行上去
    • 初等行变换
    • 把上述“行”换成“列”，为初等列变换
    • 初等变换
  • 定义2.4.2-矩阵等价
    • 矩阵等价的性质
      • 自反性
      • 对称性
      • 传递性
  • 定义2.4.3-初等矩阵
    • 对单位矩阵只作一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵，或初等方阵
  • 定理2.4.1
    • 设对m×n矩阵A施行1次初等行（列）变换得到的矩阵B，则B等于用一个与此初等变换对应的m(n)阶初等矩阵左（右）乘A所得的乘积矩阵
  • 定义2.4.4-阶梯形矩阵（行阶梯性矩阵）
    • 如果存在零行，则零行都在非零行的下边
    • 在任意两个相邻的非零行中，下一行的首非零行元都在上一行的首非零元的右边， 即从上到下，各非零行的首非零元的列标随着行标的递增而严格增大
  • 简化行阶梯形矩阵（行最简形）
    • 是阶梯形矩阵
    • 每个首非零元都是1，并且在每个首非零元所在的列中，除首非零元1以外的其他元素全都为零
  • 定理2.4.2
  • 定理2.4.3-设A为n阶方阵，则下列条件相互等价
    • A是可逆矩阵
    • A可经有限次初等行变换化成同阶单位矩阵I（即A行等价于同阶单位矩阵I）
    • A可表示成若干个初等矩阵之积
  • 定理2.4.4-设A，B都是m×n矩阵，则
• 区分
  • 余子式
  • 代数余子式
  • 子矩阵
  • k阶子式

几何向量及其应用

• 向量及其线性运算
  • 向量基本概念
    • 数量（标量）
    • 向量（矢量）
      • 长度（模、范数）
      • 单位向量
      • 零向量
      • 自由向量
      • 负向量
  • 定义3.1.1-向量加法的三角形法则或折线法则
    • 向量加法的运算规律
      • a+b=b+a
      • (a+b)+c=a+(b+c)
      • a+0=a
      • a+(-a)=0
  • 定义3.1.2-数乘向量
    • 数乘向量的运算规律
    • 向量长度的基本性质
  • 向量的线性运算
  • 向径
  • 定理3.1.1
  • 推论3.1.1
  • 定理3.1.2
  • 推论3.1.2
  • 定理3.1.3
  • 空间直角坐标系
    • 横坐标、纵坐标、竖坐标
    • 方向角、方向余弦
      • • 方向余弦的坐标表达式
    • 方向余弦的性质
      • 任一非零向量的方向余弦的平方和等于1
      • 单位向量的坐标就是它的方向余弦
    • 用坐标进行向量的线性运算
    • 用坐标表示向量共线、共面的充要条件
      • 共线
      • 共面
    • 线段的定比分点的坐标
  • 定义3.1.3-正交射影向量和正交射影
    • 正交分解
    • 射影的基本性质
• 数量积、向量积、混合积
  • 定义3.2.1-数量积（内积、点积）
    • 数量积的性质
  • 定理3.2.1
  • 定义3.2.2-向量积（外积。差积）
    • 向量积的基本性质
    • 向量积在几何上可以求平行四边形的面积 可以求与两个向量都垂直的向量 可以判断两个向量是否共线
  • 定理3.2.2
  • 定义3.2.3-混合积
    • 混合积的几何意义
    • 混合积的坐标表达式
    • 混合积的性质
  • 定理3.2.3
• 平面和空间直线
  • 平面的方程
    • 平面的点法式方程
    • 平面的一般式方程
      • • 通过原点
        • 平行于坐标轴
        • 通过坐标轴
        • 垂直于坐标轴
    • 平面的截距式方程
    • 平面的参数式方程
  • 两个平面的位置关系
  • 空间直线的方程
    • 直线的参数式方程
    • 直线的对称式方程
    • 直线的一般式方程
  • 两条直线的位置关系
  • 直线与平面的位置关系
  • 距离
    • 点到平面的距离
    • 点到直线的距离
    • 异面直线的距离

n维向量与线性方程组

• 消元法
  • n元线性方程组
  • 消元法
    • 利用矩阵的初等行变换将方程组对应的矩阵化成阶梯性矩阵、在有解时进而 化成阶梯形矩阵的方法，通常称之为高斯-若当消元法，简称消元法
      • 自由未知量
      • 约束未知量（非自由未知量）
      • 由自由未知量表示的通解
      • 矛盾方程组（不相容方程组）
  • 线性方程组的解
    • 定理4.1.1-线性方程组有解判定定理
    • 对于n元线性方程组Ax=b
    • 定理4.1.2
    • 推论4.1.1
    • 推论4.1.2
      • 设A为m×n矩阵，且m＜n，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0必有非零解. 即方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解
  • 数域
    • 如果数的集合F包含数0和1，并且F中任何两个数的和、差、积和商（除数不为零）都仍是F中的数，即F对数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）这4种运算都是封闭的，则称数集F是一个数域
      • 任何数域都包含有理数域
      • 有理数域
      • 实数域
      • 复数域
• 向量组的线性相关性
  • 定义4.2.1-n维向量
  • 定义4.2.2
  • 定义4.2.3
  • 定义4.2.4-向量空间
  • 定义4.2.5-线性组合与线性表示
  • 定理4.2.1
  • n维基本单位向量组
  • 定义4.2.6-等价向量组
    • • 自反性：向量组(I)与(I)等价
      • 对称性：若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)与(I)等价
      • 传递性：若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价
  • 定义4.2.7-线性相关与线性无关
  • 定理4.2.2
  • 推论4.2.1
  • 推论4.2.2
  • 推论
  • 定理4.2.3
  • 定理4.2.4
  • 定理4.2.5
    • 部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关，则任何部分组线性无关
    • 含有零向量的向量组必线性相关；线性无关向量组必不含零向量
• 用MATLAB软件解线性方程组
• 线性方程组的解的结构
  • 性质4.4.1
  • 性质4.4.2
  • 定义4.4.1-基础解系
    • 与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系
    • 结构解
  • 定理4.4.1
  • 定理4.4.2
  • 导出组
  • 性质4.4.3
  • 性质4.4.4
  • 定理4.4.3-非齐次线性方程组解的结构定理
• 向量组的秩
  • 定义4.3.1-极大无关组
  • 定义4.3.2-向量组的秩
  • 定理4.3.1
  • 定理4.3.2
  • 推论4.3.1
    • 如果向量组(I)，(II)都是线性无关组，且(I)与(II)等价，则(I)与(II)所含向量的个数必相同
  • 推论4.3.2
    • 设r(U)=r, 则U中任何r个线性无关的向量都可作为U的极大无关组
  • 定理4.3.3
    • 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示, 则r(I)≤r(II)
  • 推论4.3.3
    • 若向量组(I)与向量组(II)等价, 则r(I)=r(II)
  • 定理4.3.4

线性空间与欧氏空间

• 欧氏空间的基本概念
  • 定义5.2.1-内积和欧氏空间
    • • 标准内积
  • 定理5.2.1-Cauchy-Schhwarz(柯西-施瓦茨)不等式
  • 定义5.2.2-向量的范数
    • • 范数的基本性质
  • 定义5.2.3-非零向量的夹角
  • 定义5.2.4-距离
  • 定义5.2.5-正交向量组与正交单位向量组
  • 定理5.2.2
  • 定义5.2.6-正交基与标准正交基
  • 定理5.2.3
  • 定理5.2.4-Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法
  • 定义5.2.7-正交矩阵
  • 定理5.2.5
  • 定义5.2.8
  • 定理5.2.6
• 用MATLAB软件实现向量组正交化
• 线性空间的基本概念
  • 定义5.1.1-线性空间
    • 线性空间也称为向量空间，因此也将线性空间的元素称为它的向量
    • • 加法和数乘（统称为线性运算）满足一下8条运算规律（其中α、β、γ是V中任意的元素，k,l是F中的任意数）
  • 性质5.1.1
    • 线性空间的零元素是唯一的
  • 性质5.1.2
    • 线性空间的任意元素的负元素是唯一的
  • 性质5.1.3
  • 性质5.1.4
  • 定义5.1.2-子空间
  • 定理5.1.1
  • 定义5.1.3-基, 维数与向量的坐标
    • • 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间，否则称V为有限维线性空间
  • 定义5.1.4-过渡矩阵
    • 基变换公式
  • 定理5.1.2
  • 定义5.1.5-线性空间的同构
  • 定理5.1.3
  • 定理5.1.4
  • 定理5.1.5-扩充定理
  • 定理5.1.6
  • 定理5.1.7
  • 定理5.1.8-维数公式
  • 定义5.1.6-子空间的直和
  • 定理5.1.9
  • 推论5.1.1

特征值与特征向量

• 应用举例
• 相似矩阵与矩阵的相似对角化
  • 定义6.2.1-相似矩阵
  • 定理6.2.1
    • • 这些命题的逆命题不真
  • 定理6.2.2-矩阵可对角化的充要条件
  • 推论6.2.1-矩阵可对角化的一个充分条件
  • 推论6.2.2-矩阵可对角化的充要条件
  • 实对称矩阵
  • 性质6.2.1
  • 性质6.2.2
  • 定理6.2.3
  • 推论6.2.3
  • 实对称矩阵的正交相似对角化过程
• 用MATLAB软件计算矩阵的特征值、特征向量
• 矩阵的特征值与特征向量
  • 定义6.1.1-特征值与特征向量
  • 定义6.1.2-特征方程、特征多项式与特征空间
  • 注意
  • 性质6.1.1
  • 性质6.1.2
  • 性质6.1.3
  • 性质6.1.4
  • 性质6.1.4‘
  • 性质6.1.5

二次曲面与二次型

• 曲面与空间曲线
  • 柱面
  • 锥面
    • • • 椭圆锥面
  • 旋转面
  • 典型的二次曲面
    • 椭球面
    • 单叶双曲面
    • 双叶双曲面
    • 椭圆抛物面
    • 双曲抛物面
  • 曲线在坐标面上的投影
• 实二次型
  • 定义7.2.1-二次型
  • 定理7.2.1
  • 定义7.2.2-合同矩阵
  • 定理7.2.2
  • 定理7.2.3-惯性定理
  • 定义7.2.3-正定二次型与正定矩阵
  • 定理7.2.4
  • 定理7.2.5
  • 推论7.2.1
  • 定理7.2.6
  • 推论7.2.2
  • 定理7.2.7
  • 定义7.2.4
  • 二次曲面的标准方程

线性变换

• 线性变换的矩阵表示
  • 定理8.2.1
  • 定理8.2.2
  • 定理8.2.3
  • 定理8.2.4
  • 定理8.2.5
• 线性变换及其运算
  • 定义8.1.1-线性变换
    • • 同构映射必是线性变换
  • 定理8.1.1
  • 定义8.1.2-核与值域
  • 定理8.1.2
  • 定理8.1.3-秩加零度定理
  • 定理8.1.4
  • 定理8.1.5
  • 推论8.1.1
  • 定义8.1.3-映射的乘积
  • 定理8.1.6
  • 定义8.1.4-可逆映射
  • 定理8.1.7
  • 定理8.1.8
  • 定理8.1.9
  • 定义8.1.5-线性变换的和与数量乘积