信号与系统的傅里叶变换

将自己做题时经常遇到的考点与相关知识点进行整合，做题时可将三大变换的类似性质进行对比学习，并将信号与系统中常用的判断稳定与因果系统的方法进行总结。

三大变换与因果稳定性判断

• 傅里叶变换
  • 定义
    • 正变换
    • 逆变换
      • • 常考：通过逆变换公式，不用求解f(t)就可以算出f(t)在某个点处的数值
  • 性质
    • 前提：f(t)->F(jw)
      • 1.线性性质（齐次性+可加性）
      • 2.对称性
        • F(jt)=2πf（-w）
          • 常考：Sa(t)与门函数之间的变换，结合调制与频谱图等相关信息，要注意幅度的改变
      • 3.尺度变换
        • • 考点：进行尺度变换时要注意冲击函数的幅度是否改变
      • 4.时移
      • 5.频移
      • 6.时域卷积
        • f1(t) * f2(t) -> F1(jw)F2(jw)
      • 7.频域卷积
        • • 考点：输入与正余弦函数进行调制解调
      • 8.时域微分
      • 9.时域积分
        • • 注意F(0)=0的特例
      • 10.频域微分
        • • 不常用，要注意
      • 11.频域积分
        • • 注意f(0)=0的特例
• 拉普拉斯变换
  • 定义
    • 正变换
      • • 常考：当F(s)的收敛域包括jw轴时，F(jw)=F(s)|s=jw，常用于求输入为正余弦函数的稳态响应--只改变幅度与相位
    • 逆变换
  • 性质
    • 1.线性性质（齐次性+可加性）
    • 2.尺度变换
      • • 注意a无绝对值
    • 3.时移
      • • 注意f(t-t0)u(t)与f(t-t0)u(t-t0)的拉式变换是不一样的，前者需使用s域卷积的公式进行求解
    • 4.时域卷积
      • f1(t) * f2(t) ->F1(s)F2(s)
    • 5.s域卷积
    • 6.时域微分
    • 7.时域积分
      • • 常考tu(t)
    • 8.s域微分
      • • 注意与傅里叶变换进行比较
    • 9.s域积分
      • • 不常用
    • 10.初值定理
      • • 使用前提：F(s)为真分式，若为假分式，则只取真分式部分
    • 11.终值定理
      • • 使用前提：F(s)的极点全位于左半开平面
• Z变换
  • 定义
    • 正变换
      • • 使用定义法可求定义域与不常见的z变换
    • 逆变换
  • 性质
    • 1.线性性质（齐次性+可加性）
    • 2.尺度变换
      • • 常用公式
    • 3.时域卷积
      • f1(k) * f2(k) ->F1(z)F2(z)
    • 4.z域微分
      • • 考点：使用部分分时展开法求f(k)
    • 5.时域反转
    • 6.部分和
    • 7.初值定理
      • • 使用前提：f(k)为因果序列
    • 8.终值定理
      • • 使用前提：收敛域包括单位圆z=1，也包括临界稳定
• 连续因果系统充要条件
  • 1.t<0时，冲击响应h(t)=0
  • 2.系统函数H(s)收敛域为坐标轴以右的右半开平面
  • 3.H(s)的极点都在都在收敛轴的左边
• 连续稳定系统充要条件
  • • 1.输入有界，输出也有界
  • 2.H(s)的收敛域包括虚轴
• 连续因果稳定系统
  • • 1.从h(t)判断
  • 2.从H(s)判断：H(s)的极点都在s平面的左半开平面
• 离散因果系统充要条件
  • 1.单位脉冲响应h(t)为因果序列
  • 2.收敛域包括无穷
  • 3.极点均分布在某个圆内，收敛域在该圆外
• 离散稳定系统充要条件
  • 1.收敛域包括单位圆z=1
  • • 2.绝对可和
• 离散因果稳定系统
  • 1.收敛域包括无穷与单位圆
  • 2.H(z)的极点集中在单位圆内部
• 注：以下均为充要条件