考研高等数学微分方程

对考研高等数学部分常见的微分方程形式进行了总结，并给出了相关的解题思路、列举了考研对微分方程的常见命题方式。

微分方程

• 一阶微分方程
  • 可分离变量型
  • 可化为可分离变量型
    • • 换元：ax+by+c=u-->du/dx=a+by'-->将y'使用u'代替，得到u'与u的方程
    • • 换元：y/x=u-->y=ux-->y'=u+xdu/dx-->将y'使用u'代替，得到u'与u的方程
        • 常见的是dx/dy的形式
  • 一阶线性微分方程
    • • • 该公式推导过程需要注意，公式要记
  • 伯努利方程
    • • 将q(x)单独放+换元+求导+代换变为一阶线性微分方程
• 二阶可降解微分方程
  • 无y
    • • ①y'=p；②y''=dp/dx;③代入原方程，得到p与x的方程
  • 无x
    • • ①y'=p；②y''=pdp/dy;③代入原方程
  • 缺什么就让什么彻底消失
• 高阶线性微分方程
  • 二阶常系数齐次线性微分方程
    • • 求解特征方程
        • 两个单根k1、k2
        • 二重根k
        • 共轭复根
        • 通解
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程
    • • 自由项f(x)
        • • • Q为x的n次多项式
            • k=
              • 0
                • α不是特征根
              • 1
                • α是单特征根
              • 2
                • α是二重特征根
        • • • k=
              • 0
                • 不是特征根
              • 1
                • 是特征根
• 形式
  • F(x,y,y',...)
• 考研常见命题
  • 1.微分方程反问题：给出解求微分方程
    • 解题思路
      • ①由通解形式得到特征根，确定齐次微分方程形式
      • ②由特解得到微分方程的右边部分
      • ③非齐次特解-非齐次特解得到通解
  • 2.将几何问题与微分方程相结合
    • 解题思路：找到几何问题的等式之后进行变形，得到微分方程形式
  • 3.注意一阶线性微分方程、伯努利方程的求解，不常用但考研常考