概率论与部分数理统计期末复习自制思维导图

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概率论与数理统计

• 概率论
  • 古典概型
  • 几何概型
  • 事件的概率
    • 包含关系
    • 互斥/互不相容关系（两者不同时发生）
    • 对立关系（两者必发生一个也只能发生一个）
  • 条件概率
    • P（A|B)=P(AB)/P(B)
  • 全概率公式
    • P(总体某事发生）=P(A发生）P(A中发生该事）+P（B发生）P(B中发生该事）……
  • 贝叶斯公式
    • P(已知总体中发生某事，发生该事的来源是A）=[P(A发生）P(A中发生该事）]/P（总体发生该事）
  • 离散型随机变量
    • 一维离散型求分布律
    • 一维离散型求期望、方差
      • E（X)=x1p（x1）+x2p(x2)……xnp(xn)
      • E(AX+BY+C)=AE(X)+BE(X)+C
      • D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
      • D(AX+B)=A^2D(X)
      • D(任意量）>=0
    • 二维离散型求分布律（联合分布律）
    • 二维离散型求边缘分布律
  • 连续型随机变量
    • 一维连续型求概率
      • P(a<X<b）=fa~bfX(x)dx=F(b）-F（a） 注：f（x）为概率密度或概率函数
    • 一维连续型求F(分布函数）
      • FA(b)=P(A<=b); F(b)=P(B<=b)
    • 一维连续型已知F求f
      • fA(a）=F‘A(a）
    • 一维连续型已知f求f
      • 普通求法：先求F（见上：一维连续型求F), 再求f； 公式法：条件：再f（x）/=0的区间内，Y=g（x）单调增或单调减 ，X=h（y),1.用h（y）替代f（x）中的x 2.末尾乘上h’（y） 3.将fX（x）用fY（y）代替
    • 一维连续型求期望、方差
      • E(X)=f最小~最大xf（x）dx； E[g（x）]=f最小~最大g（x）f（x）dx；其它均与一维离散型求法相同
    • 二维连续型分布函数（联合分布函数）
      • F(x，y）是变量x，y的不减函数；关于x，y都是右连续 ； P{x1<X<=x2 , y1<Y<=y2}=F(x2,y2)-F(x1-y2)-F(x2-y1)+F(x1,y1)
    • 二维连续型概率密度
      • P{(X,Y)属于G}=ffG [f（x，y）dxdy； [6^2F(x,y)/6x6y]=f(x,y)
  • 常见的五种分布
    • 均匀分布
      • P=满足要求的长度/总长度 ； 表示方法：U[a,b]
    • 泊松分布
      • P(X=x）=(入^x/x!)e^-入 ; 表示方法：B[n,p]
    • 二项分布
      • P(X=x）=C(上x下n) P^x （1-p）^(n-x) ; 表示方法：B[n,p]
    • 指数分布
      • f(x)=
        • 入e^-(入x）， x>0 ; 表示方法：E(入）
        • 0 , x<=0
    • 正态分布{X~N(μ，6^2)}
      • f(x)={1/[(2π）^(1/2) 6]}e^-{[(x-μ）^2]/(2 6^2)}
      • P(a<X<b)=φ[(b-μ）/6]-φ[(a-μ）/6]
      • P(X<a)=φ[(a-μ）/6] φ（n）可查表得到， . 表示方法：N(μ，6^2)
      • P(X>b)=1-φ[(b-μ）/6]
      • 最大值fmax=f（μ）=1/[(2π)^(1/2) 6]
      • 正态分布标准化原理：X~N(μ，6^2),则有[（X-μ）/6]~N(0,1)
      • F(x)=P（X<=x）=P{[(X-μ）/6]<=[(x-μ）/6]}=φ[(x-μ)/6] ; P{x1<X<x2}=F（x2）-F（x1）=φ[(x2-μ）/6]-φ[(x1-μ)/6]
      • 抽样分布定理
        • X~N(μ，6^2) ; X8~N(μ，(6^2)/n) ; (X-μ)/6~N(0,1) ; (X8-μ)/{6/[n^1/2]}~N(0,1) ; (X8-μ)/{S/[n^1/2]}~t(n-1) ; [(n-1)S^2]/(6^2)~X^2(n-1)
• 数理统计
  • 数理统计基础
    • 判断是否为统计量
      • 除X、S、n外，若还含有其它未知量，则不为统计量
    • 求样本均值、样本方差、样本标准差
      • X8=[(x1+x2+x3+……+xn）/n； S^2=(x1-X8)^2+(x2-X8)^2+……+（xn-X8)^2]/(n-1）; S=(S^2)1/2
    • E(X8)=E(X); E(S^2)=D(X); D(X8)=1/nD(X)
    • x1、x2……xn相互独立，式子A、B……中无相同的xk，则D(A+B+……）=D(A)+D(B)+……
    • 已知为什么分布，求某值
    • 判断服从什么分布
  • 参数估计
    • 矩估计法
      • 1.先求出总体的EX; 2.若样本值为具体的数，则EX=（x1+x2+x3+……xn）/n，可得出待求的估计量； 3若样本值为x1、x2、x3……未知的数，均值为X8，则EX=X8;可得出待求估计量
    • 最大似然估计法
      • 题干给出具体的样本值x1、x2、x3……若题干没给出就自己这样设，1.若总体X为连续型变量，则L(待求字母）=f（x1）f（x2）f（x3）……f（xn） f（xi）/=0； 2.若总体X为离散型变量，则L(待测字母）=p(X=x1)p(X=x2)……p（X=xn); 3.令d[L（待求字母）]/d（待求字母）=0； 若能求的待求字母，则完成；若不能求得待求字母，则判断d[L（待求字母）]/d（待求字母）的正负。为正，L（待求字母）单增，待求字母的值为待求字母所能取得的最大值；为负，L（待求字母）单减，待求字母的值为待求字母所能取得的最小值
    • 估计量的评选标准
      • A为B的无偏估计量《==》EA=B
      • 讨论A、B作为C的估计量的有效性，若EA=EB=C时,D(某个）<=D(另一个），则称D更小的那个估计量更有效
    • 区间估计
      • 1.令φ=1-置信度 2.求μ的置信区间，方差已知：（X8-6/(n^1/2)Z（φ/2),X8+6/(n^1/2)Z(φ/2); 方差未知： （X8-S/(n^1/2)t(φ/2)(n-1），X8+S/(n^1/2)t(φ/2)(n-1) 3.求6^2的置信区间，（[(n-1)S^2]/[卡方(φ/2)(n-1)],[(n-1)S^2]/[卡方(1-φ/2)(n-1)] 4.………………（还有一些复杂的，此处不列举）
  • 三个重要分布
    • 卡方分布(X^2)
      • X~N(0,1) ; X^2~X^2(n）; X^2=[(x1)^2+(x2)^2+……+(xn)^2]
    • t分布
      • T~t(n) ; T=X/[(Y/n)^1/2]; X与Y相互独立 ；X~N(0,1) ; Y~X^2(n）; t分布与正态分布及其类似
    • F分布
      • F~F(m，n） ； F=(X/m)/(Y/n) ; X与Y相互独立；X~X^2(m） ；Y~X^2（n）