高等微积分学习笔记

干货满满！高等微积分一元微分与积分学习笔记来啦！ 下图内容完整，结构清晰，集合与映射、实数、数列极限、函数极限等内容都可以在下图中找到相对应的知识点。

一元微分与积分

• 集合与映射
  • 恒同映射idX
  • 映射的复合（交换律）
  • 单射，满射与双射
• 实数
  • 有理数是有限小数或无限循环小数
  • 戴德金分割（实数的定义）
    • 定义加减乘除
    • 实数的完备性
    • 整数足够大
    • 有理数夹于两实数中
• 极限
  • 数列极限
    • ε-N语言描述数列极限
      • 数列的收敛与发散
      • A＜B，n＞N时，an＜bn
        • B为常数，便于估计an
      • 收敛必定有界
      • 极限不等式
    • 数列极限的运算
      • 定义验证
      • 夹逼定理
      • 极限的四则运算
        • 乘除的证明
    • 收敛的判定
      • Weierstrass
        • e的由来
        • e=lim(1+1/1!+…+1/n!)
      • Cauthy
        • 数列的上下极限（确定幂级数的收敛半径）
  • 函数极限
    • 定义
      • ε- δ语言描述函数极限
        • 1.极限与该点函数值无关只与函数在该点邻域的趋势有关 2.如果有极限，唯一
      • 左/右极限
      • 趋近于∞的极限
        • -∞与+∞的极限相等
      • Heine定理
        • limf(x)=L(x趋近于a)等价于对任何数列｛xn｝只要xn不等于a,且limxn=a,则limf(xn)=L.
          • 统一数列极限与函数极限 建立连续与离散的桥梁：证明：limsin(1/x)(x--0)不存在
    • 性质（迁移数列极限）
      • A＜B blabla f(x)≤g（x）
      • 极限不等式
      • 极限存在---邻域有界
    • 计算方法
      • 定义验证
      • 夹逼定理
      • 四则运算
      • 复合函数极限
• 连续函数