考研高等数学（一）

考研人必备干货！重磅来袭！考研数学重要知识点整理框架分享！下图包括多元函数微分学、不定积分、重积分和极限等八章内容，条理清晰，逻辑严谨，喜欢的小伙伴点个赞吧。

高等数学

• 一元函数微积分
  • 微分学
    • 函数
    • 极限
      • 等价无穷小代换
      • 泰勒公式
      • 洛必达
    • 连续
      • 间断点
        • 可去间断点
          • 左右极限相等，不等于该点值
        • 跳跃间断点
          • 左右极限不相等且存在
        • 无穷间断点
          • 左右极限含有无穷点
    • 导数
      • 求导
      • 导数应用
        • 极值
          • 在一点的去心邻域，该点值均大于或小于邻域任意值，称为极大极小值
        • 最值
          • 在某闭区域内函数最大值或最小值
        • 凹向
          • 二阶导数大于0
        • 拐点
          • 拐点临近两侧凹凸性相反
        • 渐近线
          • 水平渐近线
            • y=A与其相切
          • 垂直渐近线
            • x=A与其相切
          • 斜渐近线
            • 改写成y=kx+b
    • 微分
    • 微分中值定理
      • 四大中值定理
        • 罗尔定理
        • 拉格朗日中值定理
        • 柯西中值定理
        • 泰勒中值定理
      • 中值定理应用
        • 方程根的个数及存在性
          • 个数
            • 单调性
            • 罗尔定理
          • 存在性
            • 零点定理
            • 罗尔定理推论
              • 在区间内最多n阶导数不等于0，则在区间内最多n个实根
        • 证明题
          • 分析法
            • F(x)=e^G(x)*f(x)
              • G(x)为g(x)的原函数
          • 微分方程法
  • 积分学
    • 不定积分
    • 定积分与反常积分
      • 无穷区间判断敛散性
    • 积分不等式
      • òf(x)g(x)dx=f(x)òg(x)dx g(x)在区域内不变号
    • 定积分的应用
      • 积分函数可导性
        • 函数连续
          • 积分函数可导
        • 函数有有限个可去间断点
          • 积分函数可导
        • 函数有有限个跳跃间断点
          • 积分函数连续但不可导
    • 分部积分法换元法贯穿其中
• 多元函数微积分
  • 多元微分
    • 偏导连续
      • 全微分存在
        • 全微分的定义及其等价公式
        • 偏导存在
          • 特别的一方向偏导连续，一点偏导连续也可推出该点可微
        • 连续
    • 全微分形式不变性
      • dz=偏xdx+偏ydy
    • 极值与最值
      • 无条件极值
      • 条件极值与拉格朗日乘数法
  • 多元积分
    • 二重积分
      • 会画域，会定限
      • 对称性
      • 奇偶性
      • 积分区域关于x轴对称，函数是有的奇函数，值为0，同理可推其他
      • 交换积分次序
        • 适用于不方便积分情况
    • 三重积分
      • 计算三重积分
        • 直角坐标
          • 先二后一
          • 先一后二
          • 会投影会定限
        • 柱坐标
        • 球坐标
        • 画图理解，球坐标dv=r^2sinjdrdjdq
      • 交换积分次序
        • 先交换内部二重积分次序得到一次积分，再与外部交换积分次序
    • 线面积分
      • 弧长的线积分
      • 坐标的线积分
        • 封闭曲线
          • 单连通
            • 格林公式
            • 空间线积分
              • 斯托克斯
              • 将z的函数带入化为平面线积分
              • 直接法，参数方程
          • 非单连通
            • 补域用格林公式
              • 特别的与路径无关时在任何区域内积分均相等
        • 非封闭区域
          • 积分与路径无关
            • 更改路径计算
          • 积分与路径有关
            • 补线用格林公式
      • 面积的面积分
        • 以投影到xoy面为例，z用xy消去，ds相应的化成ds,计算该二重积分
          • 被积函数只有x或y用形心公式
      • 坐标的面积分
        • 直接计算
        • 高斯公式
          • 本质：计算三重积分
        • 补面用高斯公式
          • 本质：三重积分与二重积分的计算
      • 多元积分应用
        • 几何度量
        • 质量
        • 质心与形心
        • 转动惯量
        • 场论
          • 梯度grad
            • 函数求偏导，得到的是向量
          • 散度div
            • 向量求偏导，得到的是数
          • 旋度rot
            • 向量求偏导取行列式，得到向量
• 微分方程
  • 一阶方程
    • 线性方程改写标准式代通解公式
      • 常用方法xy对调、变量代换
  • 可降阶方程
    • 含x的二阶微分方程，令y''=p'
    • 不含x的二阶微分方程，令y''=pdp/dy
  • 高阶线性微分方程
    • 只讨论二阶
    • 求通解
      • 齐次求通解
        • 解为实数
          • 解相同
          • 解不同
        • 解为虚数
      • 非齐次求特解
        • f(x)含三角函数
        • f(x)不含三角函数
• 向量代数与空间解析几何
  • 要点：面求法向量，线求切向量
• 无穷级数
  • 常数项级数
    • 正项级数
      • 比较法与比较法的极限形式
        • 选择已知敛散性的级数作为比较的基准，常用p级数和等比级数
        • p级数
          • 助记1/n发散，n^-2发散
        • 等比级数
          • 助记n趋向于无穷大时，1的n次方发散，2的n次方发散
      • 比值法
        • 阶乘首选
      • 根值法
        • n次方首选
    • 交错级数
      • 莱布尼兹准则
        • 绝对值单调减且趋向于0收敛
    • 任一项级数
      • 绝对收敛
        • 级数收敛，级数绝对值收敛，记绝对收敛
        • 绝对值收敛，级数一定收敛
      • 条件收敛
        • 级数收敛，级数绝对值发散，记条件收敛
  • 幂级数
    • 收敛区间和收敛域
      • 比值法或根值法求出
      • 只有奇次项或只有偶次项级数收敛半径为原级数半径开根号
    • 函数展开为幂级数
    • 级数求和
    • 本质：泰勒公式拓展，熟记几个常用的展开式
  • 傅里叶级数
    • 奇偶延拓，能够分辨周期
    • 间断点值为左右平均值