导图社区 一元函数积分学的概念与计算思维导图
张宇30讲第八讲,一元函数是线,通过定积分,积成面积,然后再积分 (二重积分)就成体积了 求解一元定积分 - : y=f (x)是周期函数,则f (x)在任何一个周期上的积分为定值如y=sinx,在 (0,2π)上的积分,等于 (π,3π)上的积分.y=cos (x/2),也是周期函数,在 (0,4π)上的积分,等于 (-2π,2π)上的积分。
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一元函数积分学的概念与计算
不定积分
原函数与不定积分
原函数(不定积分)存在定理
连续函数必有原函数
含有第一类间断点和无穷间断点的函数,在包含该断点区间内必没有原函数
定积分
概念
定积分存在定理
连续,区间上定积分存在
单调,区间上定积分存在
有界+有限个间断点,区间上定积分存在
性质
求区间长度
积分的线性性质
积分的可加(拆)性
保号性
积分的绝对值小于函数绝对值的积分
函数1小于等于函数2,积分恒小于
变限积分
可积,原函数连续
连续,原函数可导
求导公式
反常积分
反常积分收敛,不一定推出极限为0
无穷积分上反常积分的概念与敛散性
无界函数的反常积分的概念与敛散性
包含瑕点的区间可积,则收敛
判断敛散性
计算
不定积分的计算
基本积分公式
anki
凑微分法
当被积函数比较复杂时,拿出一部分放到d后面去
换元法
基本思想
实际应用
三角函数代换
恒等变形+三角函数代换
根式代换
倒代换
复杂函数直接代换
分部积分
应用
推广
有理函数积分
方法
将原式因式分解,然后拆分成若干最简有理分式之和
基本原则
定积分的计算
牛顿-莱布尼茨公式
换元积分
根据函数的奇偶性、周期性
奇函数
偶函数
周期函数
区间再现公式
点火公式