数学

一篇关于数学的思维导图，原函数：原函数存在定理、连续函数一定有原函数、若f(x)在x=x0处为可去、跳跃、无穷间断点，则f(x）不存在F(x)原函数。

不定积分

• 1.原函数
  • 原函数存在定理
    • 如果函数f(x)在区间I上连续，那么区间I上存在可导函数F(x),是对任一x∈I都有 F'(x) = f(x)
  • 连续函数一定有原函数
  • 可积不可求积
    • ∫sinx/x dx
    • ∫e^-x²dx
  • 间断点
    • 若f(x)在x=x0处为可去、跳跃、无穷间断点，则f(x）不存在F(x)原函数
    • 震荡间断点，可能存在F(x)
• 2.不定积分
  • 不定积分的性质
  • 不定积分的计算
  • 第一类换元法(凑微分)
    • 1式或1式的内层求导与2式有关
  • 第二类换元法(去根号)，(化简高次幂)
    • 单调可导(连续)函数有原函数
    • 有原函数才能使用第二类换元法
    • 根号下x是一次的
      • 整体换元，令整个根号等于t 解出x 不需要写出t的范围
    • 根号下x是二次的
      • 三角换元
        • sin²x+cos²x=1
        • tan²x+1=sec²x
        • 根号下1-x²
          • 令x=sint，t∈(-π/2,π/2) 则根号下=根号cos²t=|cost|=cost，dx=dsint=costdt
        • 根号下1+x²
          • 令x=tant，t∈(-π/2,π/2) 则根号下=根号sec²t=|sect|=sect，dx=dtant=sec²tdt
        • 根号下x²-1
          • x>1
            • 令x=sect，t∈(0,2/π)x则根号下=根号下tan²t=|tant|=tant，dx=dsect=secttantdt
          • x<1
            • 令-x=t>1
  • 分部积分(反,对,幂,三,指，选u的顺序)
  • 有理函数积分
    • 假分式
      • 分子的幂次超过了分母的幂次
      • 假分式可以转换成多项式加真分式
        • 多项式除法
    • 真分式
  • 三角函数积分
    • 奇数次凑积分
    • 偶数次降幂
• 正弦余弦记忆口诀：正余同余正，余余反正正。 五个字代表右边的公式，“同”和“反”则表明中间的符号与左边是否一样；其中第一个字也代表是余弦公式还是正弦公式。