函数与极限

高中数学中函数极限是函数学习的重中之重，也是比较难掌握的知识点。极限思想是从求圆的面积周长解决数学问题时就开始接触的方法。极限思想在解决求极限的数学问题中使用频率非常高，更是高中数学函数求极限一大切入点与必考点。本文涵盖所有内容细节，复习时可脱离课本。

第一章 函数与极限

• 映射与函数
  • 一、映射
    • 映射的概念
      • 定义域：Df 值域:Rf
    • 逆映射与复合映射
      • 只有单射才有逆映射
  • 二、函数
    • 函数的概念
    • 函数的特性
      • 有界性
      • 单调性
      • 奇偶性
      • 周期性
    • 反函数与复合函数
    • 函数的运算
    • 初等函数
      • 余切函数:y=cotx=cosx/sinx=1/tanx 正割函数:y=secx=1/cosx 余割函数:y=cscx=1/sinx 反三角函数
• 数列与极限
  • 一、数列极限的定义
  • 二、收敛数列的性质
    • • 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件
• 函数的极限
  • 一、函数极限的定义
    • 自变量趋于有限值时函数的极限
    • 自变量趋于无穷大时函数的极限
  • 二、函数极限的性质
• 无穷小与无穷大
  • 一、无穷小
    • 定义
    • 定理1 在自变量的同一变化过程中x→x。（或x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+a,其中a是无穷小
  • 二、无穷大
    • 定义
    • 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f （x）为无穷大，那么1/ f （x）为无穷小；反之，如果。f （x）为无穷小，且f （x）不等于0，那么1/f（x）为无穷大
• 极限运算法则
  • 定理1 两个(有限个)无穷小的和是无穷小
  • 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 定理3
  • 定理4
  • 定理5
  • 定理6
• 极限存在的准则 两个重要极限
  • • 夹逼准则
  • 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
  • 柯西极限存在准则
• 无穷小的比较
  • 定义
  • 等价无穷小替换a ～b
  • 定理1：β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+ο(α)
• 函数的连续性与间断性
  • 一、函数的连续性
  • 二、函数的间断点
    • 跳跃间断点
      • 可去间断点
        • 第一类间断点
    • 无穷间断点
      • 振荡间断点
        • 第二类间断点
• 9连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 一、连续函数的和、差、积、商的连续性
  • 二、反函数与复合函数的连续性
  • 三、初等函数的连续性
    • 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
    • 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
• 10闭区间上连续函数的性质
  • 定理1(有界性与最大值最小值定理)
  • 定理2(零点定理)
  • 定理3(介值定理)
  • 定理4(一致连续性定理)