向量代数与空间解析几何

这是一篇关于向量代数与空间解析几何的笔记，内容有向量及其线性运算、数量积、向量积、混合积、平面及其方程、空间直线及其方程。

第八章（向量代数与空间解析几何）

• 第一节 向量及其线性运算
  • 向量的概念
    • 只考虑向量的大小和方向，与起点无关
    • 向量的大小叫做向量的模：| r | = √(x2 + y2 + z2)。模等于1的向量叫做单位向量
  • 向量的线性运算
    • 向量的加减法：三角形法则、平行四边形法则
      • 交换律 a+b=b+a
      • 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
    • 向量与数的乘法
      • 结合律 λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a
      • 分配律 (λ+μ)a=λa+μa λ(a+b)=λa+λb
      • 定理1 设向量a≠0，则向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=λa.
  • 空间直角坐标系
    • 挂限：在xOy面上方且yOz面前方、zOx面右方为第一挂限(Ⅰ)，其余顺时针依次排列
    • 向量r=xi+yj+zk.
  • 利用坐标作向量的线性运算
  • 向量的模、方向角、投影
    • 非零向量r与三个坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r的方向角.
• 第二节 数量积 向量积 混合积
  • 数量积
    • 交换律 a·b=b·a
    • 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
    • 结合律 (λa)·b=λ(a·b)，λ为数
  • 向量积
    • b x a=-a x b
    • 分配律 (a+b) x c=a x c+b x c
    • 结合律 (λa) x b=a x (λb)=λ(a x b)，(λ为数)
    • 向量a//b的充分必要条件是a x b=0
• 第三节 平面及其方程
  • 点法式
  • 平面的一般方程
  • 平面的截距式方程，a,b,c依次为平面在x,y,z轴上的截距
  • 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角或直角)称为两平面的夹角
• 第四节 空间直线及其方程
  • 空间直线的一般方程
  • 直线的对称式方程或点向式方程：过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线上L一点M。(x。，y。，z。)和它的一方向向量s=(m,n,p)为已知时，可求L.
  • 直线的参数方程(可由对称式方程导出)
  • 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫做两直线的夹角
  • 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角φ(0≤φ<π/2)称为直线与平面的夹角
• 第五节 曲面及其方程
  • 在yOz坐标面上有一已知曲线C，方程为f(y,z)=0
• 第六节 空间曲线及其方程
  • 空间曲线C的一般方程
  • 空间曲线的参数方程
    • 例如螺旋线的参数方程
  • 柱面必定包含曲线C以曲线C为准线、母线平行于z轴(即垂直于x0y面)的柱面叫做曲线C关于x0y面的投影柱面,投影柱面与x0y面的交线叫做空间曲线C在x0y面上的投影曲线,或简称投影
  • 表示的曲面必定包含空间曲线在xOy面上的投影