泛函分析·第一章 距离空间与拓扑空间

数学系专业课泛函分析期末复习资料～如果有人看的话就把后面几章都放出来～本思维导图主要内容有常用距离定义、基础概念、定义、紧性、距离空间的紧性。

第一章 距离空间与拓扑空间

• 常用距离定义
  • R^n
  • C[a,b]
  • R^∞
  • L(E)
  • 离散空间D
• 基础概念定义
  • 连续函数
    • 开集的原像映成开集
    • 基础定义:xn->x,则f(xn)->f(x)
  • 接触点与极限点
    • 接触点
    • 极限点A'
  • 稠密与可分
    • 稠密的定义
    • 可分的定义
      • l^∞不可分
  • 完备距离空间
    • （C[0,1],d1）不完备
  • 疏集
    • 定义：不在任意开集中稠
  • 两个定理
    • Baire纲定理
      • 完备距离空间是第二纲集，即不可写成可数个疏集的并
    • 压缩映射原理
      • 推论 上式针对T^n也成立
• 紧性
  • 定义
    • 有限覆盖
  • 等价关系
    • X是拓扑空间，X紧当且仅当X具有有穷交性质
  • 充分条件
    • 闭+列紧
  • 紧空间的性质
    • 紧空间的闭子集紧
    • Hausdorff空间，每一紧子集闭
    • 紧一定闭，而闭+紧空间=紧
    • 紧空间的乘积空间紧
  • 紧空间的连续映射
    • 紧空间在连续映射下的像是紧空间
    • 紧空间上的连续函数必有最值
    • 紧空间到紧空间上的连续双射是同胚
      • 也即，紧空间上连续函数的逆也是连续的
• 距离空间的紧性
  • 列紧
    • 定义
      • 任意列，存在收敛子列（不必收敛于本集合中）
    • 等价
      • A的闭包紧
    • 性质
      • 列紧集的子集列紧
      • 列紧空间完备
      • 列紧集的闭包紧
      • 列紧一定全有界，从而一定有界
      • 列紧+闭=紧
    • 特殊情况
      • C[a,b]中的A列紧，当且仅当A中函数一致有界、等度连续
  • 全有界
    • 定义
      • 存在有限网
    • 等价
      • 任意列，存在Cauchy子列
    • 性质
      • 全有界一定有界
      • 有穷网可取为子集
      • 全有界一定可分
      • 距离空间全有界，则它具有可数基
  • 关系
    • 紧=列紧+闭
    • 列紧=全有界+完备
• 完备距离空间的闭子空间依然完备
• 列紧+闭=紧
• 同胚：连续函数+双射+逆映射连续
• 距离收敛等价于按测度收敛
• 距离收敛等价于一致收敛