不定积分

高等数学同济第七版上册不定积分（部分内容）思维导图，包括不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法等。

不定积分

• 不定积分
  • 原函数(不唯一）
    • 定义
      • • 在区间I上，对任一x属于I，都有f'(x)=f（x），则称函数F(x)是f（x）在区间I上的一个原函数。
    • 原函数存在定理
      • • 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F（x），对任一x∈I，都有：F'（x）=f(x)。所以连续函数一定存在原函数。
  • 不定积分（求完要+c）
    • 定义
      • • 在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。记作：∫f(x)dx=F（x）+c
    • 几何意义
    • 基本性质
    • 基本积分公式
• 分部积分法
  • 如何选取u
    • 对反幂三指（LTATE)
  • 前提
    • 被积函数是两种不同类型函数的乘积
  • 形式
    • • ∫udv=uv-∫vdu
  • 使用原则
    • • v易求出，∫vdu易积分
• 第一类换元法（凑微分法）
  • 定理
    • 设f(u)具有原函数，如果u=φx可导，则： ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)
  • 关于三角函数的计算方法
    • 凑微分
    • 降幂公式
    • 和差化积
• 第二类换元法
  • 定理
    • 若函数x=φ（t）在【a··，b··】严格单调并且可导，a小于等于b，φ‘（t）不等于0函数f（x）在【a，b】有定义，任意的t属于【a··，b··】有G’（t）=f[φ(t)]φ'(t),则函数f（x）在[a,b]存在原函数。
  • 三角代换
    • 目的是将根式有理化
  • 倒数代换
    • 当分母次数较高时，可以用x=1\t
  • 根式代换
    • 被积函数含有两种以上的根式，可令x=u^n（n为各根指数的最小公倍数）
• 有理数的不定积分
  • 有理函数的原函数都是初等函数
  • 定义
  • 分类
    • 有理真分式n小于m
    • 有理假分式n大于等于m
  • 代数基本定理
    • 分式分项定理
  • 待定系数法
    • 可用带入特殊值
  • 有理函数化为部分分式之和后有三种情况
    • 多项式
    • A/(X-a）^n
    • Mx=N/(x^2+px+q)^n
  • 有理函数的不定积分总是能积出来
• 简单无理函数与三角函数的不定积分
  • 简单无理函数的不定积分
    • 两种类型
    • 选择适当的换元
  • 万能公式
    • 不是最佳方法
  • 三角函数的不定积分
    • 如果r（sinx，cosx）是cosx的奇函数，即r（sinx，-cosx）=-r（sinx，cosx）设t=sinx
    • 如果r（sinx，cosx）是sinx的奇函数，即r（-sinx，cosx）=-r（sinx，cosx）设t=cosx
    • 如果r（sinx，cosx）=r（-sinx，-cosx）设t=tanx
    • 被积函数是sin^nxcos^mx
      • 如果nm中有一个是奇数，设m=2k=1 t=sinx
      • 如果nm都是偶数 运用三角公式将被积函数化简
    • 被积函数是sinmxsinnx，sinmxcosnx，cosmxcosnx
      • 用积化和差公式
• 一般规律
• 有理函数=多项式+真分式
• 基本积分公式
• 基本性质