数学分析第三章：函数极限

数学分析考研，可加入个人反思。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

数学分析第三章

• 1、函数极限的概念
  • 一、x趋于∞时函数的极限
    • 定义1：对任给的倒3大于0，存在正数M，使得当x＞M时，有|f(x)-A|＜倒3
  • 二、x趋于x0时函数的极限
    • 定义2：对任给的倒3大于0，存在deta＞0，使得当0＜|x-x0|＜deta时，有|f(x)-A|＜倒3
    • 当0＜x＜pi/2时，sin x＜x＜tan x
  • 三、单侧极限：x趋于+∞/-∞/x0+/x0-
  • 四、定理3.1：在x0处极限存在=互推=左极限与右极限存在且相等
  • 反思：
    • 1、课后题第7题：黎曼函数极限等于0
• 2、函数极限的性质（以趋于x0）
  • 定理3.2（唯一性）：极限存在则唯一
  • 定理3.3（局部有界性）：极限存在，则存在x0的某一空心邻域使得函数值均小于一个定值，即为有界
  • 定理3.4（局部保号性）：极限存在等于A＞0，则对任意正数r＜A，存在x0的某一空心邻域使得函数值＞r＞0 || 极限存在等于A＞0，则对任意正数r＜-A，存在x0的某一空心邻域使得函数值＜-r＜0
  • 定理3.5（保不等式性）：f与g两个函数极限都存在，存在某一空心邻域有f≤g，则极限值f≤g
  • 定理3.6（迫敛性）
  • 定理3.7（四则运算法则）加减乘除
  • 反思：
• 3、函数极限存在的条件
  • 定理3.8（归结原则）：函数极限与数列极限联系起来，所有的函数极限都存在且相等。可以用于正向以及反向证明
  • 定理3.9：极限存在且等于A的充要条件为任何以x0为极限的递减数列使得f极限均等于A
  • 定理3.10：f为在x0的空心右邻域的单调有界函数，则f的右极限存在
  • 定理3.11（柯西准则）：对任何在空心邻域的x1与x2，有|f(x1)-f(x2)|＜倒3
  • 反思：
• 4、两个重要极限
  • 1、sin x/x x趋于0
  • 2、 （1+1/x)的x次方 x趋于∞
  • 反思：
• 5、无穷大量与无穷小量
  • 1、无穷小量
    • 高阶=0、同阶=c≠0或在一个范围内、等价等于1
    • 等价无穷小量8个代换
    • 定理3.12:等价无穷小量在极限中的运用
    • 两个无穷小量的加减乘仍旧是无穷小量
    • 无穷小量*有界量仍旧是无穷小量
  • 2、无穷大量
    • 高阶=0、同阶=c不等于0、等价等于1
  • 3、曲线的斜渐近线与垂直渐近线用极限进行计算
  • 反思: