线性空间

高等代数第六章线性空间，向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

线性空间V

• 满足1.加法交换律 2.加法结合律 3.α+0=α,且0属于V 4.存在α+β=0，即α=-β 5.1α=α 6.数乘结合律 7.分配律（包含αβ的，也包含kl的）
• 1. 维数（dimV=n）
  • 线性空间V中有且仅有n个线性无关向量，则V称n维线性空间 若V中有任意多个线性无关向量，V称为无限维的线性空间
  • 维数是有限维线性空间的唯一的本质特征
• 2. 基
  • 线性空间V中有n个线性无关的向量α1,α2,···,αn,而V中任一向量都可由它们线性表示，则α1,α2,···,αn为V的一组基，且V为n维的
  • 基不唯一
  • 基变换
    • （η1，η2，···，ηn)=(ε1,ε2，···，εn)A，A=（aij)n×n
      • A=（aij)n×n为ε1,ε2，···，εn到η1，η2，···，ηn的过渡矩阵 基之间的过渡矩阵可逆→η1，η2，···，ηn到ε1,ε2，···，εn的过渡矩阵为A-1
  • 坐标变换
    • x=Ay或y=A-1x
      • n维线性空间V下A为ε1,ε2，···，εn到η1，η2，···，ηn的过渡矩阵 向量α在ε1,ε2，···，εn与η1，η2，···，ηn下坐标分别为x=（ε1,ε2，···，εn)',y=(η1，η2，···，ηn)',
  • α1,α2,···,αn为一组基，则V=L(α1,α2,···,αn,)
• 3. 同构
  • 数域P上的n维线性空间V都与Pn同构
  • 数域P存在V到V'的双射σ
    • 双射σ称为线性空间V到V'的同构映射
    • σ(α+β)=σ(α)+σ(β),任意α,β∈V
    • σ(kα)=kσ(α),任意α∈V，任意k∈P
    • V与V'称为同构的
      • σ(0)=0,σ(-α)=-σ(α)
      • σ(k1α1+k2α2+···+ksαs)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+···+ksσ(αs)
      • V中向量组α1,α2,···,αs,线性相关（无关）→σ(α1),σ(α2),···,σ(αs)线性相关（无关）
        • ε1,ε2,···,εn为V的一组基，则σ(ε1),σ(ε2),···,σ(εn)为V'的一组基，反之亦然
        • 同构的线性空间有相同维数
      • W是V的子空间，则σ(W)是V'的子空间，且dimW=dimσ(W)
      • 若σ,τ分别为线性空间V到V'与V'到V''的同构映射，则逆映射σ-1是V'到V的同构映射，τσ是V到V''的同构映射
        • 同构具有反身性，对称性，传递性
• α1,α2,···,αs与β1,β2,···,βt是线性空间V的两组向量
  • L（α1,α2,···,αs）=L=（β1,β2,···,βt）→向量组α1,α2,···,αs与β1,β2,···,βt等价（可互相线性表示）
  • 子空间L（α1,α2,···,αs）的维数=r(α1,α2,···,αs）
• 线性子空间W
  • 数域P上线性空间V的非空集合W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间→W称为V的线性子空间，其维数小于V的维数
  • 若V的子空间W中包含α1,α2,···,αs，则L（α1,α2,···,αs）必为W的子空间
  • n维线性空间W为m维子空间
    • ε1,ε2,···,εm为W一组基
      • 在V中可找到n-m个向量εm+1,···,εn,使ε1,ε2,···,εm,εm+1,···,εn是V的一组基
    • dimW=n,则W=V
  • W是线性空间V的子空间，存在V的子空间U使V=W⊕U,U称为W的余子空间
    • W余子空间不唯一
  • 交
    • V1,V2为线性空间V的两个子空间
      • V1∩V2是V的子空间
        • V1∪V2一般不是子空间
  • 和
    • V1,V2为线性空间V的两个子空间
      • V1+V2是V的子空间
        • 若V1=L(α1,α2,···,αs)与V2=L(β1,β2,···,βt) 则V1+V2=L(α1,α2,···,αs,β1,β2,···,βt)
      • 维数公式
        • dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
          • dimV1+dimV2﹥n,则V1,V2必含有非零的公共向量
  • 直和
    • V1,V2为线性空间V的两个子空间
      • V1+V2的每个向量α=α1+α2（α1∈V1,α∈V2)唯一，则V1+V2称直和，记V1⊕V2
      • V1+V2是直和
        • 零向量分解式唯一
        • V1∩V2={0}
        • dimV1+dimV2=dim(V1+V2))
    • V1,V2,···，Vs是线性空间V的子空间
      • W=V1+V2+···+V3即W=⊕i=1^sVi
        • 零向量的分解式唯一
        • Vi∩∑j=1^sVj={0}（i≠j,i=1,2,···，s）
        • dimW=dimV1+dimV2+···+dimVs
  • 平凡子空间
    • W={0}
      • 零子空间
    • W=V
  • 非平凡子空间
    • 非零的线性空间V没非平凡的子空间→dimV=1
    • W≠V≠0
• （亦称向量空间，V中元素为向量）