线性代数

一张思维导图带你学习线性代数的知识内容，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、二次型。

线性代数

• 行列式
  • 做0展开
    • 1. 上三角或下三角
    • 2. 爪型行列式
      • 除了第一行第一列和主对角线，第二三四列元素一样。
      • 把每行的-1倍加到别的行
    • 3. 所有行都加到第一行
  • 按行按列展开
  • 拉普拉斯展开 ⚠️注意形式
  • 范德蒙行列式 ⚠️第一行全部为0
• 矩阵
  • 矩阵的概念与运算
    • 求一个矩阵的n次方时，可以展开用结合率，说不定可化简
  • 可逆矩阵和伴随矩阵
    • 重要公式？
      • A* = |A| A^(-1)
  • 行最简矩阵
    • 定义？
  • 初等矩阵
    • 左乘初等矩阵，右乘初等矩阵区别？
  • 分块矩阵
    • 1. 转置公式？
    • 2. 求逆公式？
  • 方阵的行列式
    • 1. 求转置矩阵的值
    • 2. 矩阵的k倍
    • 3. 伴随矩阵的值
    • 4. 逆矩阵的值
• 向量
  • 线性表出和线性相关的区别？
    • 1. 判断是否线性相关
      • 1. 行列式是否等于0
      • 2. 两向量是否成比例
      • 3. 化成增广矩阵看其是否有解
      • 4. 向量组的秩与向量维数的关系
  • 向量组的秩和矩阵的秩的区别？
    • 向量组的秩: 向量组的极大线性无关组 矩阵的秩: r阶子式不得0
    • 1. 向量组的秩
      • 向量组的等价判定？
        • 两向量组可以互相表出
    • 2. 矩阵的秩
      • 矩阵秩的公式？
    • 3. 证明题
      • 写出要证结论，结合已知条件 1. 左乘右乘
  • 矩阵的正交
    • 1. 正交规范化
    • 2. 正交矩阵
      • 1. 正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵相等
      • 2. 正交矩阵的几何意义
• 线性方程组
  • 1. 尝试用秩解决问题
  • 2. 用克拉默法则 (方阵)
  • 3. 方程的解和方程秩的关系？
• 特征值和特征向量
  • 特征值，特征向量
    • 用秩和矩阵关于秩的公式解决问题
      • 1. Aa = ka
      • 2. | kE - a | = 0
    • 特征值与迹的关系
    • 特征值与方阵值的关系
  • 相似矩阵
    • 1. 用公式 P^(-1)AP=对角矩阵来求A
    • 2. 相似矩阵的性质
  • 实对称矩阵
  • 需要用到特征向量时，可考虑用特征矩阵的秩
• 二次型
  • 二次型矩阵均为对称矩阵
  • 只有两矩阵都是实对称矩阵，才会相似合同