泛函分析1

这是一个关于泛函分析的思维导图，介绍了度量空间和赋范线性空间、有界线性算子和连续线性泛函、内积空间和希尔伯特空间等。

泛函分析

• 七、度量空间和赋范线性空间
  • 度量空间的例子
    • 离散的度量空间
    • 序列空间S
    • 有界函数空间B(A)
    • 可测函数空间M(X)
    • C[a,b]空间
  • 极限
    • • n维欧氏空间
      • C[a,b]空间
        • 一致收敛
      • 序列空间S
        • 依坐标收敛
      • 可测函数空间M(X)
        • 依测度收敛
  • 稠密集&可分空间
    • 稠密(子)集
      • 定义：
    • 可分空间
      • 定义：
        • 可分
        • 不可分
  • 连续映射
    • 定理1：
    • 定理2：
  • 柯西点列
    • 也称基本点列
      • 在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但每一个收敛点列都是柯西点列
  • 完备度量空间
    • 定义：
      • 完备
        • C
        • C[a,b]空间
      • 不完备
        • 有理数全体按绝对值距离构成的空间
        • P[a,b]
        • 新定义的(X,d)
    • 定理：
    • 证明思路：
      • 完备
        • 1°构建柯西列xn：①x属于空间②收敛于x
        • 2°闭子空间
      • 不完备
        • 构建柯西列不收敛
  • 度量空间的完备化
    • 等距同构、等距同构映射
      • 等距
      • 保范
      • 保内积
    • 度量空间的完备化定理
      • 定理1：
      • 定理2：
  • 压缩映射原理
    • 定理1(压缩映射定理)：
    • 定理2：
    • 定理3(皮卡)：略
  • 线性空间
    • 定义(按加法和数乘运算成为线性空间或向量空间)：
      • 关于加法成为交换群
        • 1°交换律
          • x+y=y+x
        • 2°结合律
          • (x+y)+z=x+(y+z)
        • 3°零元素
          • 存在唯一θ，任意x∈X，x+θ=x
        • 4°负元素
          • 任意x∈X，存在x'∈X，x+x'=θ
      • u=ax称为数积
        • 1°一元素
          • 1x=x
        • 2°公配律
          • a(bx)=(ab)x
        • 3°结合律
          • (a+b)x=ax+bx、a(x+y)=ax+ay
    • 例子
      • C[a,b]空间
    • spanM：由M张成的线性包、线性相关、线性无关、线性无关集、有限维、无限维、零维线性空间
      • C[a,b]是无限维线性空间
  • 赋范线性空间
    • 范数
      • 1°
      • 2°
      • 3°
    • 依范数收敛
    • 赋范线性空间
      • d(x,y)=||x-y||,(x,y∈X),性质：
        • d(x-y,0)=d(x,y)
        • d(αx,0)=|α|d(x,0)
  • 巴拿赫空间
    • 定义：
      • 完备的赋范线性空间
    • 例子
      • C[a,b]空间
      • (p≥1)
    • 引理1(霍尔德不等式)：
    • 引理2(闵可夫斯基不等式)：
    • 定理：
    • 推论1：
    • 拓扑同构
    • 推论2：
• 八、有界线性算子和连续线性泛函
  • 线性算子和线性泛函
    • 线性
      • 1°T(x+y)=Tx+Ty
      • 2°T(αx)=αTx
    • 算子
      • X,Y是赋范线性空间,X到Y的映射,称为算子
    • 泛函
      • Y是数域,称为泛函
    • 例子
      • X是线性空间,x∈X,Tx=αx
        • 相似算子
        • α=1
          • 恒等算子
            • 记为
        • α=0
          • 零算子
            • 记为O
      • P[0,1]为[0,1]区间上多项式全体,对每个x∈P[0,1]，
        • 微分算子
      • x∈C[a,b]，
      • x∈C[a,b]，
        • 乘法算子
      • • 线性变换
  • 有界线性算子和连续线性泛函
    • 定义：
      • 简称：有界算子
      • 不满足无界算子
    • 定理1：
    • 定理2：
    • 算子的范数
    • 引理：
    • 例子
      • 有界
        • 相似算子Tx=αx
        • 积分算子
      • 无界
        • 微分算子
  • 有界线性算子空间
    • • • (A+B)x=Ax+Bx
        • (αA)x=αAx
    • 定理1：
    • 赋范代数&巴拿赫代数
  • 共轭空间
    • 定义1：
      • 设X是赋范线性空间,令X'表示X上连续线性泛函全体所成空间,称为X的共轭空间
    • 定理2：
      • 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间
    • 定义2(保距算子&同构)：
      • X,Y是两个赋范线性空间,T是X到Y的线性算子,对任意x∈X,有||Tx||=||x||,称T是X到Y的保距算子,如果T是映射到Y上的,则称T是同构映射,此时X与Y同构。
        • 保距算子是一对一的、同构映射是等距映射
    • 例子
      • • 注意：
    • 证明思路：
      • ①T是线性映射②T是满射的③||Tf||≤||f||（+||f||≤||Tf|| → ||f||=||Tf||）
  • 有限秩算子
    • 略
• 九、内积空间和希尔伯特空间
  • 内积空间
    • 定义：
      • 1°
      • 2°
      • 3°
        • 实线性空间<x,y>=<y,x>
    • 范数
      • • 1°
        • 2°
    • 引理(施瓦茨不等式)：
      • • 二维时：线性相关⇿共线、|x,y|≤|x||y|
    • 内积空间是一种特殊的赋范线性空间
    • 范数完备，成为希尔伯特空间
    • 证明思路：
      • 1°
        • 定义
      • 2°
        • ①赋范②平行四边形公式
          • 平行四边形公式：
    • 例子
      • 成为内积空间
      • 不成为内积空间
    • 极化恒等式
      • 实数
      • 复数
  • 投影定理
    • 凸集
      • M是X的子集,M中任意两点x,y的线段含于M,称M为X中的凸集
    • 定理1(极小化向量定理)：
    • 推论：
      • • 当M是X的完备子空间时,M当然是X中的凸集
    • 定义1：
      • 正交&互补子空间&正交补子空间(略)
    • 引理1：
    • 定义2(正交补)：
      • • 子主题
    • 不难证明
    • 定理2：
    • 正交投影(简称投影)：
      • 定义：
      • 投影算子
        • 对任意x∈X,令Px=y,其中y是x在Y上的投影,称P为X到Y上的投影算子
        • 性质：
          • 1°P是X到Y上的有界线性算子,且当Y≠{0}时,||P||=1
          • 2°
          • 3°
    • 引理2：
    • 引理3：
  • 希尔伯特空间
    • 正交系
      • 性质
        • 1°
        • 2°正交系M是X中线性无关子集
      • 规范正交系
        • 目的：
          • 把空间中的向量关于规范正交系展开成级数
        • 定义：
          • 设M是内积空间X的一个不含0的子集,若M中向量两两正交,则称M为X中的正交系,又若M中向量的范数都为1,则称M为X中规范正交系
        • 例子
          • 子主题
        • 傅里叶系数
          • 例子
          • 引理1：
            • • (1)
              • (2)
          • 定理1(贝塞尔不等式)：
            • • 等号成立：帕塞瓦尔等式
          • 引理2：
            • • （1）
              • （2）
              • （3）
          • 推论1：
        • 完全规范正交系
          • 定义：
          • 定理2：
          • 定理3：
          • 推论2(斯捷克洛夫定理)：
          • 引理3：
            • • 格拉姆—施密特正交化过程
          • 定理4：
            • 每个非零希尔伯特空间必有完全规范正交系
          • 定义(同构&同构映射)：
          • 定理5：
          • 推论3：
    • 连续线性泛函
      • 定理1(里斯定理)：
      • 复共轭同构
      • 定理2：
      • 希尔伯特共轭算子
        • 定义：
          • 定理2中的算子A*为A的希尔伯特共轭算子,简称共轭算子
        • 基本性质
          • 1°
          • 2°
          • 3°
          • 4°
          • 5°
        • 自伴算子
          • • 引理
            • 定理1：
            • 定理2：
            • 定理3：
        • 酉算子
          • T是X到X上的满射且
            • 定理4：
              • • 1°
                • 2°
                • 3°
                • 4°
                • 5°
            • 定理5：
            • 酉算子是保范算子，保范算子不一定是酉算子,保范＋满上→酉算子
        • 正规算子
          • • 笛卡尔分解
            • 定理6：
            • 定理7：
• 十、巴拿赫空间中的基本定理
  • 泛函延拓定理
    • 定理1(汉恩—巴拿赫泛函延拓定理)：
    • 定理2：
    • 定理3：
    • 定理4：
    • 推论：
  • C[a,b]的共轭空间
    • 里斯表示定理
      • 略
• 说明
  • 例子
    • 判断
  • 证明思路：
    • 度量空间
      • 1°非负
      • 2°dy(x,y)=0 当且仅当 x=
      • 3°三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)
    • 完备度量空间
      • 完备
        • 1°构建柯西列xn：①x属于空间②收敛于x
        • 2°闭子空间
      • 不完备
        • 构建柯西列不收敛
    • 有界
      • 1°
      • 2°
      • 3°
    • 连续
    • 共轭空间
      • ①T是线性映射②T是满射的③保范||Tf||≤||f||（+||f||≤||Tf|| → ||f||=||Tf||）
    • 内积空间
      • 1°定义
      • 2°
        • ①赋范
        • ②平行四边形公式
          • 平行四边形公式:
• 定义
  • n维欧氏空间
    • 略
  • 离散的度量空间
    • 非空集合,任意两点:
  • 序列空间S
    • S表示实(复)数列全体,对S中任意两点:
  • 有界函数空间B(A)
    • B(A)表示A上有界实(复)值函数全体,对B(A)中任意两点:
  • 可测函数空间M(X)
    • M(X)为X上实(复数)值的L可测函数全体,m为L测度,m(X)<∞,对M(X)上任意f(t),g(t):
  • C[a,b]空间
    • C[a,b]表示闭区间[a,b]上实(复)值连续函数全体,对C[a,b]]中任意两点:
  • P[a,b]空间
    • P[a,b]表示闭区间[a,b]上实系数多项式全体
      • 是C[a,b]的子空间
  • C
    • 表示所以收敛的实(或复)数列全体，对C中任意两点:
      • 是
  • (p≥1)
    • • 特别的,
  • 新定义的(X,d)