随机事件与概率

数学随机事件与概率思维导图，主要内容有随机事件和概率的定义及类型，条件概率与事件的独立性。

随机事件与概率

• 随机事件
  • 事件的分类
    • 必然事件、不可能事件、基本事件、复合事件
  • 事件的关系和运算
    • 包含
    • 和事件
      • AUB，A、B至少有一个发生
    • 积事件
      • A∩B，A、B同时发生 ，可缩写为AB
    • 差事件
      • A－B，A发生B不发生
    • 互斥事件
      • A∩B＝空集，A、B不能同时发生
    • 逆事件
      • AUB＝S且A∩B＝空集，A、B必有一发生且仅有一发生
• 概率
  • 频率的定义
    • 相同的条件下，进行了N次试验， 其中事件A发生的次数Na称为事件A发生的频数， Na/N称为事件A发生的频率
  • 等可能概率
    • 古典概率
      • 定义：试验的样本空间S包含n个样本点， 每个样本点出现的可能性相同， 事件A包含k个样本点，则P（A）=k/n 计算方法
        • 加法原理：n1+n2+n3+…+nm
        • 乘法原理：n1Xn2Xn3X…Xnm
        • 排列方式：Ak/n=n！/（n-k）！
        • 组合方式：Ck/n=n！/（n-k）！k！
        • 超几何公式：P=（Ck/M Cn-k/N-M）/Cn/N
    • 几何概率
      • 样本空间是某一线段或某一区域
  • 公理化定义与运算性质
    • 概率的公理化定义
      • 非负性
      • 规范性
      • 可列可加性
    • 概率的运算性质
      • 1：0≤P（A）≤1，P空集＝0
      • 2：若A1，A2…An是两两互不相容事件，有P（A1UA2∪…UAn）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）
      • 3：对任意两个事件A，B，有P（A-B）=P（A）-P（AB），若A包含B，则有P（A-B）=P（A）-P（B） 推论（单调性）若A包含B，则P（A）≥P（B）
      • 4：对于任意两个事件A，B，P（AUB）＝P（A）＋P（B）-P（AB） 推广：P（AUBUC）＝P（A）＋P（B）＋P（C）-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
      • 5：对于任意事件A，P（A）＝1-P（A）
• 条件概率
  • 定义：已知事件A发生的前提条件下B发生的概率，称为事件B的条件概率， P（B/A）=P（AB）/P（B）
    • 缩减样本空间
    • 先求P（AB）和P（A），再按定义计算
  • 乘法公式
    • P（AB）=P（B|A）P（A），P（A）＞0
    • P（AB）=P（A|B）P（B），P（B）＞0
    • 推广：设A1，A2，…An（n≥2）个事件，且P（A1A2…An）＞0， 则有P（A1A2…An）＝P（An｜A1A2…An-1）…P（A2丨Al）P（A1）
  • 全概率公式
    • 设试验E的样本空间为S，A是E的事件，B1，B2…Bn是样本空间S的一个划分， 且P（Bi）＞0（i＝1，2…n）， 有p（A）＝P（A丨B1）P（B1）…P（A丨Bn）P（Bn）
  • 贝叶斯公式
    • 设试验E的样本空间为S，A是E的事件，B1，B2…Bn是样本空间S的一个划分， 且P（Bi）＞0（i＝1，2…n），P（A）＞0 P（Bi丨A）＝P（A丨Bi）P（Bi），i＝1，2…n ∑j＝1P（A｜Bj）P（Bj）
• 事件的独立性
  • 定义：P（AB）＝P（A）P（B），
  • 应用
  • 伯努利概型
    • 在一次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），则在伯努利试验中，事件A恰好发生了k（k≤n）的概率为 Pn（k）＝ k k n-k ，k＝0，1，…，n，0＜p＜1 Cnp（1-p）
• 事件运算律 1.结合律、结合律、分配律 2.德摩根律：A∩B＝AUBAUB＝A∩B
• 研究随机现象数量规律的学科