导图社区 线性代数（持续更新中）
考研线性代数知识思维导图，主要内容已经整理出了矩阵、向量、行列式三个板块，会随复习进度持续更新。
社区模板帮助中心，点此进入>>
英语词性
法理
刑法总则
【华政插班生】文学常识-先秦
【华政插班生】文学常识-秦汉
文学常识：魏晋南北朝
【华政插班生】文学常识-隋唐五代
民法分论
日语高考動詞の活用
第14章DNA的生物合成读书笔记
线性代数
矩阵
矩阵的概念
m×n个数排成m×n的表格称为m×n的矩阵
若A与B都是m×n的矩阵，则A与B为同型矩阵
矩阵的运算
基础运算
同型矩阵可以相加减
不同于行列式，矩阵的数乘是所有元素乘以K
矩阵乘法：Am×s乘Bs×n得到Cm×n
矩阵乘法不具有交换律
对角矩阵
具有交换律
矩阵的n次方等于在对角元素上n次方
转置
有矩阵乘法时，优先判断乘法结果为数还是矩阵
伴随矩阵
定义：代数余子式按照转置的顺序排列
数学表达式：A*A=|A|E
运算性质
|A*|
(KA)*
(A*)*
(A*)T
r(A*)
可逆矩阵
定义：AB=BA=E，则A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵
定理
可逆<=>|A|!=0
若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的
A、B为n阶矩阵，若AB=E，则可逆；n阶矩阵可逆，不用检查交换
性质
A^-1=A*/|A|
(KA)^-1
|A^-1|
计算方法
使用伴随矩阵的数学表达式求
与A构成增广矩阵，进行初等行变换
初等矩阵
初等变换(行+列)
用非0数乘A矩阵某行每个元素
互换A矩阵的两行元素
某行数乘K加到另外一行
定义：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
初等矩阵左乘相当于行变换；初等矩阵右乘相当于列变换；
初等矩阵求逆
数乘=>乘倒数
互换=>不变
倍加=>加相反数
行
行阶梯型矩阵，定义：全0行在底部，主元下方全为0；
行最简，定义：行阶梯型，且主元为1，主元所在列全为0；
矩阵等价，定义：r(A)=r(B) =>A与B等价
分块矩阵
分块运算
分块运算的性质与2×2的矩阵运算性质相同
按行分块、按列分块
方阵的行列式
|
向量
n维向量
定义：n个数构成的有序数列，有行向量和列向量
运算
相同维数的向量相加减等于对应元素相加减
向量数乘等于数乘以每个元素
内积
两个相同维数的向量对应元素相乘之和，若为0，则两向量正交；即向量的X乘
施密特正交化
线性表出
定义：向量β能被αi的线性组和表示，即β可以用α线性表出
定理：线性表出可以看做非齐次方程组有解，即r(αi)=r(αi β)
传递性
向量组(Ⅰ)每个向量均可以由(Ⅱ)线性表出，则称(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表出 若(Ⅰ)、(Ⅱ)可以互相线性表出，则称两向量组等价
线性相关
定义：不全为0的Ki，使得ΣKiαi=0成立，则αi线性相关，否正线性无关
线性相关可以看做齐次方程组有非0解，即r(α1 α2 …… αm)<m 若为n×n的向量组，也可以通过判断其行列式是否为0(克拉默法则)
相关无关，通过证明Ki是不是全为0
n维向量αi线性无关，αi β线性相关，则β可以有αi线性表出，且表达式唯一
向量组线性αi线性相关，则任一αi可以由其他向量线性表出
小的向量组线性相关，大的向量组线性相关 大的向量组线性无关，小的向量组线性无关
矩阵的秩
定义：矩阵A存在r阶子式不等于0，其他所有r+1阶子式全为0，则矩阵A的秩为r
向量组的秩
定义
极大线性无关组
零向量无极大线性无关组
无关组的极大线性无关组为本身
不唯一
向量组的极大线性无关组中向量的个数
将向量组写成矩阵的形式，通过初等行变换，转换成行最简形式，则可以选出极大线性无关组
正交矩阵
定义：AAT=ATA=E，则称A为正交矩阵
A^-1=AT
|A|=±1
A的行(列)向量都是单位向量且两两正交
行列式
行列式的概念
不同行、不同列乘积的代数和(本质上是一个数)
对于n×n的行列式，完全展开式中有n！项
行列式的性质
1、转置的行列式值不变=>行列式的行性质与列性质相同
2、某行有公因数K，可以把K提出来
3、行列式中两行互换，符号相反
4、某行K倍加到另一行，行列式的值不变
5、若某行每项都为两数之和，则行列式可以拆成两个行列式之和
6、某行的所有元素与另外一行的代数余子式相乘的代数和为0
行列式的计算
二阶、三阶行列式可以使用公式展开计算
行列式按行(列)展开公式
某行(列)与其代数余子式相乘的代数和
按行展开之前，可以按照行列式的性质构造只有一个非0元素的行或列
构造只有一个非0元素行的常用方法
所有行加到第一行
爪型，第一行负一倍到其他行
成比例元素，相加减
逐行相加减
重要公式
主对角线的三角形
负对角线的三角形
拉普拉斯
范德蒙
行列式的加减
行列式的加减只能用于某一行，即只有一行元素不同，其他相等
也等于数的加减
行列式的乘除
行列式的乘除等于数的乘除
克拉默法则
若系数行列式D=|A|!=0，则Xi=Di/D
推论
推论1：对于齐次方程组，若系数行列式不为0，则方程组只有唯一0解
推论2：若齐次方程组有非0解，则系数行列式为0 也相当于r(A)<n
