随机变量与概率第二章总结

随机变量与概率第二章总结的思维导图，包含了随机变量与分布函数、离散型随机变量、连续性随机变量等内容。

随机变量及其概率分布

• 随机变量与分布函数
  • 随机变量
    • 定义1：设E是随机试验，它的样本空间为Ω，若X=X(e)(e∈Ω）是定义在Ω上的一个单值实函数，且对于任意实数x,集合｛X≤x｝={e:X(e)≤x,e∈Ω｝是随机事件，则称X=X(e）为Ω上的一个随机变量
  • 分布函数
    • 定义2：设X是一个随机变量，则称函数F（x）=P{X≤x}(-∞<x<+∞）为随机变量X的分布函数
    • F（x）的重要性质：1.0≤F（x）≤12.单调性:当x1<x2时，F（x1）≤F(x2)3.F(-∞）=0，F(+∞）=14.右连续性：F（x+0）=F(x)
• 离散型随机变量
  • 离散型随机变量的概念
    • 定义1：如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列无穷多个，那么称X为离散型随机变量
    • 定义2：设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,...xn,...,则称P（X=xk）=pk(k=1,2,...n,...)为离散型随机变量X的概率分布率（简称分布律）
    • 分布律的性质：1.非负性：pk≥0（k=1,2,...）2.规范性：∑pk=1
  • 几种常见的离散型随机变量的分布
    • 两点分布
      • 定义3：如果离散型随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布律为P｛X=k}=Pk(1-p)1-k(k=0,1;0<p<1),那么称X服从参数为p的两点分布，也称X服从0-1分布，记为X~0—1分布
    • 二项分布
      • 定义4：如果离散型随机变量X的分布律为P｛X=k｝=Cnkpkq(n-k)(k=0,1,2,...,n），其中0<p<1,q=1-p,那么称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B（1，p）
    • 泊松分布
      • 定义5：如果离散型随机变量X的分布律为P｛X=k｝=
      • 泊松定理
• 连续性随机变量
  • 概率密度函数的概念
    • 定义1：设随机变量X的分布函数为F（x），如果存在一个非负可积函数f(x),使得对于任意实数向，有F（x）=
    • 概率密度f(x)性质：1.非负性：f(x)≥02.规范性：从-∞到+∞f(x)积分为1
  • 几种常见的连续型随机变量的分布
    • 均匀分布
    • 指数分布
    • 正态分布
• 随机变量函数的概率分布
  • 一维随机变量函数的概率分布
  • 二维随机变量函数的概率分布
• 条件分布与随机变量独立性
  • 条件分布
    • 离散型随机变量的条件分布
      • 定义
      • 非负性和规范性
    • 连续性随机变量的条件分布
      • 条件分布函数
      • 条件概率密度
        • 定义
        • 性质
  • 随机变量的独立性
    • 定义4：设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为F（x,y）关于X和Y的边缘分布函数分别是Fx(x)与Fy(y），如果对于任意实数x,y,有P｛X≤x,Y≤y｝=P{X≤x}P{Y≤y},即F（x,y）=Fx(x)Fy(y),则称随机变量X和Y相互独立
    • 定理1
    • 定理2：设（X,Y）是二维连续性随机变量，f(x,y),fx(x),fy(y)分别是（X,Y）的联合概率密度及关于X和关于Y的边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是：对于所有f（x,y）连续的点（x,y）,都有f(x,y)=fx(x)fy(y)
• 二维随机变量
  • 二维随机变量及其分布函数
    • 定义1：设Ω为随机试验E的样本空间，X=X（e）,Y=Y(e)是定义在Ω上的随机变量，则称有序对（X,Y）为二维随机变量或二维随机向量
    • 定义2：设（X,Y）是二维随机变量，则称二元函数F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}(-∞《x<+∞，-∞<y<+∞）为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数
    • 3.性质：1.F(x,y)关于每个变量是单调不减函数，即若x1<x2,则对于任意实数y，有F(x1,y)≤F(x2,y);若y1<y2,则对于任意实数x,有F(x,y1)≤F(x,y2)2.对于任意实数x,y,有0≤F（x,y）≤1,且F（-∞，y）=F(x,-∞）=F(-∞，+∞）=0，F（+∞，+∞）=13.F（x,y）关于每个变量均向右连续，即F（x,y）=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)4.对于任意实数x1<x2,y1<y2,有F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)≥0
  • 二维离散型随机变量
    • 定义：如果二维随机变量（X,Y）所有可能取值是有限个或可列无穷多个数对（xi,yi）(i,j=1,2,...),那么称（X,Y）为二维离散型随机变量，并称P｛X=xi,Y=yi｝=pij(i,j=1,2,...)为二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律
    • 性质：1.非负性：pij≥0（i,j=1,2,...）2.规范性：∑pij=1
  • 二维连续型随机变量
    • 性质