实数与数列极限

大学一年级数学系课程，史济怀版思维导图学习笔记。数学分析一关于实数与数列极限的详细笔记！通过思维导图整理了有关实数、数列、收敛数列、有界数列等相关知识点，提供了相关数学臆想的网址以供课外拓展，并记录了书本上好的例题。

实数与数列极限

• 1.补充
  • 范围
    • 多项式环
    • 集合族
    • 数域
  • 单位元
• 2.实数
  • 几何表示
    • 数轴
      • 对应性
        • 一一对应
      • 数域与性质
        • 整数
          • 离散性
        • 有理数
          • 稠密性
        • 实数
          • 实数系统
            • R∞＝R∪｛+∞，-∞｝
            • 连续性
              • 定理
                • 单调有界数列定有极限P26
                • Bolzano-Weierstrass定理P38
                • Cauchy收敛原理P38
                  • 有限维
                • 确界原理P41
                  • 一维
                • 闭区间套定理P28
                • 开覆盖
                  • 定义P43
                    • 指标集
                    • 有限开区间族
                    • 闭区间
                  • Heine-Borel定理P43
                    • 有限个开区间，仍为开覆盖
                    • 任意维
                • 可相互推导
  • 集合
    • C、R、Q、Z、N
  • 结构
    • 代数
      • 四则运算
    • 距离
      • 绝对值
    • 次序
      • 大小
    • ＋
      • 系统（代数）
      • 空间（几何）
• 3.证明
  • 方向
    • 存在性与唯一性
    • 充分性与必要性
  • 方法
    • 反证法
      • 归谬法
      • 穷举法
    • 数学归纳法
    • 综合法
    • 分析法
    • 构造法
• 7.例题
  • 常见套路
    • 无限项的和计算
      • 1+(1/2)^a+...+(1/n)^a
      • 1+1/2+...+1/n
    • 均值不等式
  • 好题
    • P21练习题3（1）
    • P39练习题1.7 2
    • P50，51练习题1.10 3 问题1.10 2
      • 反证
• 6.有界数列
  • 定义P13
  • 上界与下界P40
  • 上确界与下确界P40
    • 表示
      • supE
        • 上/下界的集合
      • infE
    • 证明
      • 存在性
        • 确界原理P42
          • 有上下界必有上下确界
      • 唯一性
• 5.收敛数列
  • 表示
    • 符号（略）
    • 收敛数列性质的 不等式表示P21
      • 保序性
  • 极限
    • ε-n语言
      • ε:任意一个大于 零的实数
      • 本质
        • 无限逼近极限
          • 可单调
          • 可摆动
    • 特殊情况
      • 无穷小
        • 五大定理P17
      • 无穷大(无界)
        • 三种情形P24
        • 简单性质 P24、25
    • 性质
      • 保序性
        • a>q,n充分大时an>q
      • 极限计算
        • 四则运算P15
          • 非零➗
          • ➕➖
          • ✖️
        • 夹逼定理P19
        • Stolz定理P51
          • ｛bn｝严格递增且趋近于正无穷
  • 上极限与下极限
    • 定义P45
      • 极限点
        • 收敛子列的极限（包括无穷）
          • 从任一子列中必可取出一个单调子列
        • 收敛数列
          • 同一
        • 发散数列
          • 有界
          • 无界
            • 无穷
      • 极限点的最大最小值
        • a*=supE
          • E：极限点
    • 表示
      • liman
        • lim sup an
    • 性质
      • a*与E的关系性质P46
      • 大小比较P47
      • 自n开始的上下极限组成的数列性质P48
  • 基本列 Cauchy 列 P36
    • 充分大
    • 两项之差 逼近0
  • 特殊情况
    • 单调数列的收敛
      • 单调数列分类
        • 严格与否
          • 单增
          • 单减
      • 单调有界→有极限
        • 连续性表现
    • 自然对数e
      • en=(1+1/n)^nP31
        • e=s=1！+1/2！+...+1/n!
      • e的估计值P32
        • s(n+m)-sn
      • e是无理数P33
    • 常数列
      • 收敛
  • 证明方法
    • 定义法
    • 基本列——Cuachy原理
    • 子列收敛于同一极限
    • 上极限等于下极限
• 4.数列
  • 定义P8
    • 无穷尽
    • 映射
  • 分类
    • 方法1
      • 收敛
        • 定义P9
        • 极限P9
          • 证明
            • 存在性
            • 唯一性
      • 发散
    • 方法2
      • 有界
      • 无界
  • 子列P14
    • 任意数列都有 单调子列
      • Bolzano-Weierstrass 定理
    • 收敛数列子列 收敛于同一极限
    • 发散数列有子列 收敛于两个极限
• 相关数学臆想
  • 链接
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/36244377