数物第四章留数定理

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第四章 留数定理

• 4.1 留数定理
  • 回路包围f(z)的奇点的情形总结
  • 留数的定义
  • 留数定理
    • 推论：函数f(z)在全平面上所有各点的留数之和为零。
  • 留数的计算
    • 不展开f(z)的洛朗级数的方法
      • 单极点
      • m阶极点
• 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
  • 留数定理与实变函数定积分的联系
  • 思路
  • 类型 一
    • 积分特点
      • ①被积函数是三角函数的有理式
      • ②积分区间 [ 0 , 2π ]
    • 应对办法
      • 1、做变数代换
      • 2、
      • 3、
  • 类型二
    • 积分特点
      • ①积分区间(－∞ , +∞)
      • ②复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半个平面 除有限个奇点外是解析的
      • ③当z在上半个平面及实轴趋于无穷时，zf(z)趋近于零
  • 类型三
    • 积分特点
      • ①积分区间 [ 0 , +∞)
      • ②偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的
      • ③当z在上半个平面及实轴趋于无穷时，F(z)及G(z)趋近于零
    • 约当引理
    • 总结
  • 类型四
    • 实轴上有单极点的情形
      • 积分特点
        • ①被积函数f(x)在实轴上有有限个单极点
        • ②除此之外，f(z)满足类型二或类型三的条件
      • 结论