高数

第三章:导数的应用：函数的单调性，凹凸性，极值，最值，渐近线；要知道由费马引理→罗尔定理→拉氏定理→柯西定理的推法(期末可能会考这些证明)。

高数二(大一上)

• 第一章:函数与极限
  • 映射与函数:
    • 映射是什么
    • 基本初等函数:常，反，幂，指，对，三
    • 几个特殊函数:符号函数sgnx，取整函数[x]，狄利克雷函数y＝D(x),取最值函数{f(x)，g(x)}，双曲函数sinhx与coshx(书本12页)
    • 函数的几个性质
      • 有界性，单调性，奇偶性，周期性，凹凸性
  • 极限
    • 数列的极限
      • 定义:ε－N与几何意义
      • 性质(书本17面)
        • 极限的唯一性
        • 收敛数列有界性
        • 子数列收敛
        • 保号性→保不等式性
        • 夹逼准则
        • 单调有界准则
        • 四则运算
    • 海涅定理(p.40，联系了数列与函数极限)
    • 两个重要极限
    • 函数的极限
      • 定义与几何意义
        • x→x。时:ε－δ
        • ⅹ→∞时:ε-X
      • 性质(书本28面)
        • 唯一性
        • 局部有界性
        • 局部保号性
        • 保不等式性
        • 四则运算，复合函数的运算
  • 无穷大与无穷小量
    • 定义
    • 性质
      • 无穷小的性质(书本35面)
      • 无穷小量与有极限的量的关系(p.36)
      • 无穷大的性质(书本39面)
    • 无穷小的比较
      • 同阶
      • 高阶
      • 低阶
      • n阶
  • 函数的连续性
    • 定义
    • 间断点
      • 第一类
      • 第二类
    • 闭区间上连续函数性质(书本46面)
      • 有界性
      • 最值性
      • 介值性
      • 运算
• 第二章:导数与微分
  • 导数
    • 一般的导数
    • 反函数的导数
    • 复合函数的导数
    • 高阶导数
    • 隐函数求导
    • 参数方程确定的导数的求导
    • 可导与连续的关系
    • 基本公式还记得吗
  • 微分
    • 微分的定义
    • 导数与微分的关系
    • 微分的几何意义
    • 微分的应用:近似计算，误差分析
    • 运算法则
• 第三章:导数的应用
  • 费马引理
  • 罗尔中值定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
  • 泰勒公式
    • 余项
      • 佩亚诺型
      • 麦克劳林型
    • 一般形式
    • 常用的麦克劳林公式
      • sinx，cosx
      • e^x
      • ln(1＋x)
      • (1＋x)^α
  • 洛必达法则
    • 注意成立条件
    • 使用时结合重要极限，等价无穷小
  • 函数的单调性，凹凸性，极值，最值，渐近线
    • 单调性，凹凸性与导数的关系
    • 最值问题
    • 极值判别法
      • 第一判别法
      • 第二判别法
        • 会证吗，可能会考的
    • 渐近线
      • 水平渐近线
      • 铅直渐近线
      • 斜渐进线
    • 函数图形的描绘
  • 要知道由费马引理→罗尔定理→拉氏定理→柯西定理的推法(期末可能会考这些证明)
• 第四章:不定积分
  • 不定积分概念与性质
    • 原函数存在定理(连续函数必有原函数)
    • 基本的积分公式(p.145)
    • 可加性(p.146)
    • 数乘性(p.146)
  • 换元积分法
    • 第一类换元积分
      • 巧用1，0(ln(e)，e^0)
      • 上下同乘除一个数
      • 和差化积公式等结论
      • 式子同时加减一个数
      • 往常用公式上凑
    • 第二类换元积分
      • 三角代换
      • 根式代换
      • 倒代换
      • 常见积分表
      • 具体题目具体分析
      • 换了元之后要记得带回被换元的式子
    • ，书上p.156第14,22,24,32,33,35题都挺好
  • 分部积分法
    • 反，对，幂，指，三，之后就是往眼熟上凑
      • 与其他方法结合使用
      • 有反复横跳的特点
      • 可以用于递推公式推导(p.159例10)
      • 注意符号变化
      • 书上p159第8，10，17,18,19题挺好
  • 有理函数的积分
    • 记住两种常见形式(p.161)，将假分式转为真分式
    • 采用待定系数法，裂项等方式
  • 三角有理式的积分
    • 万能公式
    • 利用三角函数之间的关系
      • 倍角公式
      • tan与sec，csc与cot，等有关联的三角函数
      • 和差化积
    • p163和164的总习题都挺好的
• 第七章:空间解析几何与向量代数
  • 向量
    • 什么是向量
      • 定义
      • 常见概念
        • 向径
        • 向量的模
        • 自由向量
        • 向量相等
        • 零向量
        • 单位向量
        • 负向量
        • 向量平行，共面
        • 向量夹角
        • 方向角，方向余弦
    • 向量的坐标表示与运算
    • 数量积，向量积，混合积及其对应性质
    • 向量的投影
    • 常见公式
      • 定比分点公式
      • 点点，点面距离公式;平行的线线之间，平行的面面之间距离公式
      • 线线角，线面角，面面角
  • 空间曲面与曲线
    • 曲面
      • 曲面的一般方程，参数方程
      • 常见曲面
        • 球面
          • 球面
          • 虚球面
          • 点
          • 根据方程不同
        • 柱面
          • 抛物柱面
          • 圆柱面
          • 椭圆柱面
          • 双曲柱面
          • 都有准线，母线的概念
        • 旋转曲面
          • 圆锥面
          • 旋转单叶双曲面
          • 旋转双叶双曲面
          • 旋转轴与母线的概念
        • 二次曲面
          • 椭球面
          • 椭圆抛物面
          • 双曲抛物面
          • 单叶双曲面
          • 双叶双曲面
          • 知道如何通过坐标变化转化为标准形式
    • 曲线
      • 一般方程
      • 参数方程
      • 投影线，投影柱面
  • 空间平面与直线
    • 平面
      • 一般方程
      • 点法式
      • 截距式
    • 直线
      • 一般方程
      • 对称式
      • 参数式
      • 平面束的运用
    • 注意平面与直线之间关系与对应方程的联系
• 一些定理与技巧
  • • 幂指函数的运算
    • 放缩法与巧用1,0
    • 夹逼准则，单调有界准则
    • 两个重要极限，等价无穷小的替换
    • 有界×无穷小
    • 分母/子有理化
    • 和差化积公式
    • 单侧极限(可导)与极限(可导)的关系
    • 零点定理与介值定理
    • 海涅定理
    • 莱布尼兹公式
    • 数学归纳法
    • 构造函数，巧用1，0，e^x，ln(1)