导数的应用

高等数学 常见定理汇总成思维导图，主要内容有：零点定理、罗尔、积分中值定理、利用拉格朗日中值定理证明不等式、介值定理、利用单调性证不等式。

导数的应用

• 零点定理
  • 不含导数
    • f(x)在区间【a,b】连续，且f【a】*f【b】<0,则至少有一个点Y属于【a,b】使的f(Y)=0;
      • 1. 移项构成辅助函数
        • 1. 方程类：
        • 2. f(x)类: 把∮替换成x
        • 令f(x)=移项后的非0一侧
      • 2. 证明端点值异号
        • f(a)*f(b)<0
      • 3. 由零点定理得出结论
      • 模板
        • 1. 证明 ： 令F(x)等于移项后的非0一侧
        • 2. ∵ f(点1)=？ f(点2)=？ ∴ f(点1)·f(点2)<0
        • 3. 因为F(x)在【点1，点2】上连续 所以由零点定理可知 至少存在一个∮ ∈(点1，点2) 使得f(∮)=0
        • 4. 即 （抄原题结论）
    • 常见的总结
      • 1. 端点值正常
        • 1. F(a) F(b)异号的常数
        • 2. 互为相反数
        • 3. F(a) F(b)含有积分值
          • 保号性
          • 保序性
        • 4. 借助 f(x)的范围确定
          • f(x)>a f(任意)>a
      • 2. 端点值异号
        • 1. F(a) F(b)含等号
        • 2. F(a) F(b)无法异号
          • 缩减区间
  • 常见题型
    • 端点值正常
      • F(a)F(b)为异号的常数
      • F(a)，F(b)互为相反数的常数
      • 常见问题
        • 1.有分母先去分母
        • 2.如果求唯一的实数根 则利用单调性
• 罗尔
  • 含导数
    • 1. f(x)在[a,b]连续
    • 2. f(x)在(a,b)可导
    • 3. f(a)=f(b)
    • 闭连 开导
      • 则就存在一个∮∈ (a,b) 使f' (x)=0
        • 1. 移项构成辅助函数F(x) 并将∮替换为x
          • 只有f'(x)
            • 令Fx为非0一侧的原函数
          • fx与f'x同时出现
            • 结构调整为 1·f'(x)+□f(x)=△
              • 令F(x)=
        • 2. 求端点值F(a)= F(b)
        • 3. 由罗尔定理得出结论
        • 模板
          • 1. 证明： 令F(x)=........
            • (不写推导过程)
          • 2. ∵ F（点1）=？ F(x)=？ ∴ F（点1）=F（点2）
          • 3. ∵ F(x) 在 [点1，点2]连续，在(点1,点2)上可导 ∴ 由罗尔定理可知 至少有一个∮∈（点1，点2） 使F'(x)=0
          • 4. 即 .........抄结论
  • 条件中含有定积分的罗尔定理
    • 模板
      • 1. 令F(x)=被积函数
      • 2. ∵ F(x)在[下限，上限] 连续
      • 3. ∴ 由积分中值定理可知 至少存在一个 ∮∈ [上限，下限] 使得 F（∮）=
  • 常见题型
    • 一阶导
      • 常规
        • 只有f‘
        • 含有f 和f'
          • 区分为微分方程的公式法
      • 开挂
        • 罗尔+积分中值
        • 罗尔+零点
        • 罗尔+介值
        • 先解决辅助定理
    • 高导数
      • 直接对f(x)使用罗尔定理
      • 同一级别的罗尔只需要证明一次 其余同理 即可
    • 没有导数 但是 x的a次方有明显规律
• 积分中值定理
  • fx[a,b]连续，则至少又一个点& ∈[a,b] 使得 f(&)=
    • f（x）在点[a,b]的平均值
• 利用拉格朗日中值定理证明不等式
  • 适用于不等式左右对称 中间是同名函数加减
    • 不含绝对值
      • 满分模板
        • 1. 证： 令f(x)=同名函数
        • 2. 因为f(x)在[a,b]上 连续 ,(a,b)上可导
        • 3. 所以由拉格朗日中值定理可知 至少存在一个∮ ∈(a,b) 是的f'(x) =f(b)-f(a)/b-a
        • 4. 算出 f'(x) 和右边 即....=......
        • 5. 因为a<∮<b ,逐步分析f'(x)的成分 使中间的成分化为f'(x)
        • 6. 所以 △ <f'(x)<□
        • 7. △< f(b)-f(a)/b-a < □ 即 ——（超原题结论）
      • 含有等号
        • 先证相等 再证不等
      • 如果两边不是特别对称
        • 扩大∮的范围 最大扩大到题目给定的a,b的范围 如 0<a<b<1 最大范围 0-1
    • 含绝对值
      • 满分模板
        • 1. 证： 令f(x)=同名函数
        • 2. 因为f(x)在[a,b]上 连续 ,(a,b)上可导
        • 3. 所以由拉格朗日中值定理可知 至少存在一个∮ ∈(a,b) 是的f'(x) =f(b)-f(a)/b-a
        • 4. 算出 f'(x) 和右边 即....=......
        • 5. 所以 f(b)-f(a) =f'(∮）· (b-a)
        • 6. 所以 | f(b)-f(a) | = | f'(∮) | · |b-a|
          • 注意加绝对值的时机
        • 7. 因为 | f'(∮) |≤ 1
        • 8. 所以| f(b)-f(a) | ≤ |b-a|
• 介值定理
  • f(x)在「a,b」上连续 且 f(a)=c,f(b)=d ,若g为ab中一个函数值，则至少存在&属于(a,b) 使得 f(&)=j
    • 适用范围
      • 结论中不导数，且f(x)=
        • 思路
          • 1. 设置f(x)在[ a,b] 上的最小值为m，最大值为M(a,b取值范围 是在 连➕式子最左侧，最右侧的取值)
          • 2. 令 每一个f(x) 都有 m<f(x)<M (有倍数 左右m乘倍数)
          • 3. 所有f想加
          • 4. 两遍只保留一倍的 m，M （移到中间）
          • 5. 则 & 属于 (a,b) 使 f(&) =结论
• 利用单调性证不等式
  • 没有出现=号时 用单调性证明不等式
    • 同号证递增
    • 异号证递减
    • 模板
      • 1. 移项构成函数
      • 2. 整理式子 求F'(x)
      • 3. x>a 证明 F'(x)>0 / x>a 证明 F'(x)<0
      • 4. x>a 证明F(x)单调递增 / x<a F(x)单调递减
      • 5. x>a 证明F(x)>F(a) /F(x)<F(x)
      • 6. 恰好F(a)=0 得出F(x)>0 /F(x)<0
      • 7. 得到 函数的左-右>0/左-右<0
      • 8. 整理式子 得出结论
• 利用极值证明不等式
  • 当题中的不等式出现=号时 利用极值证明不等式
    • 先证相等
    • 再证不等
      • 同号证极小
      • 异号证极大
    • 模板
      • 1. 先证相等 当x=a时(试数) 左=右
      • 2. 再证不等 移项构成函数
      • 3. F'(x) 令F'(x)=0 得驻点 x=b
      • 4. 列表讨论 将b作为条件范围划分区间
      • 5. 得到极值x=a 得到F(x)>F(a)/ F(x)<F(a)
      • 6. 因为F(a)的值=0 所以 F(x)>0 /F(x)<0
      • 7. 所以方程左-右>0/ 左-右<0 综上所述 ...的结论
• 利用函数的凹凸性证明不等式
• 浮动主题
• 核心思想
  • 端点值相等
• 核心思想
  • F(x)>0 / F(x)<0
• 证明端点值异号常用方法
  • 1. f(a)(b) 为异号的常数
  • 2.F(a)F(b) 互为相反数
    • 可以相加=0 来判断异号
• 核心思想
  • 端点值异号