第一章 矩阵

线性代数第一章矩阵全部知识点。从矩阵的概念、矩阵的基本运算、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、方阵的逆矩阵、方阵的行列式几个方面作了阐述。

矩阵

• 矩阵的概念
• 矩阵的基本运算
  • 相等
  • 加减法
    • 交换律、结合律
  • 数乘
    • 结合律、分配律
  • 乘法
    • 结合律、分配律
    • 在方程中的应用
  • 幂运算
  • 转置
    • （A+B）T=AT+BT
    • （AB）T=BTAT
• 分块矩阵
  • 定义
  • 运算
    • 加减法
    • 数乘
    • 乘法
      • AB A子块列数与B子块行数相同
    • 转置
      • 子块总体和本身都转置
• 初等变换与初等矩阵
  • 矩阵的初等变换定义
    • 初等行（列）变换
      • 对换
      • 倍乘
      • 倍加
    • 矩阵等价
      • 定义A经过有限次初等变换化成B，则A、B等价
      • 具有反身性、对称性、传递性
      • 等价标准形
  • 初等矩阵定义
    • 由单位矩阵进行一次初等变换的矩阵
  • 初等变换与初等矩阵的联系
    • 要对一个矩阵进行行初等变换，即在右边乘相应变换的初等矩阵
    • 初等列变换，在左边乘相应变换的初等矩阵
  • 初等变换化简矩阵
    • 一个矩阵总可以进行有限次行初等变换化为行最简形矩阵（U）
    • 一个矩阵总可以进行有限次初等变换为等价标准形矩阵，且有且只有一个(ER)
• 方阵的逆矩阵
  • 定义
    • 若A为n阶矩阵（方阵），存在方阵B，AB=BA=E,B为A的逆矩阵
    • 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一
    • 性质
      • （A-1）^(-1)=A
      • （A的转置）^(-1)=(A^(-1))逆的转置
      • （kA)^(-1)=(1/k) A
      • （AB）^(-1)=B^(-1)A^(-1)
      • （A1A2A3…An）的逆=An^（-1）…A1^(-1)
    • 常用结论
      • E的逆矩阵是它本身
      • 可逆的行最简形矩阵是E
  • 可逆矩阵与初等矩阵
    • 初等矩阵都可逆，且可逆矩阵是初等矩阵
    • A是可逆矩阵的充分必要条件是A可以写为初等矩阵的乘积
      • 推论 是A可以经过初等行变换变换为E
    • 对于矩阵Am×n,总存在m阶可逆矩阵P和N阶可逆矩阵Q使得 A=A的标准分解
  • 如何求B
    • 用初等变换
      • 求逆矩阵
        • 依据分块矩阵乘法和可逆A都能写成初等矩阵的乘积
      • 解方程
    • 用1/|A| A*
    • 求抽象的逆矩阵，用配凑的方法
• 方阵的行列式
  • 定义
    • 行（列）每个元素×（-1）^(i+j)×其代数余子式的和
    • 逆序数定义值
      • 项数=n！
  • 性质
    • |A|=|A的转置|
    • 方阵A对换得B，|A|=-|B|
      • 推论 若方阵A中两行（列）相等则，|A|=0
        • 对应元素成比例，则|A|=0
    • k|A|=A中的一行乘k
    • 若A某一行等于bij+cij，则A可拆分
      • |A|=|A(i,j(k)|
        • 常用结论
          • |AB|=|A||B|
    • 第i行（列）与第j行（列）相对应的代数余子式相乘（相当于一个两行相同的行列式的值）为0
  • 行列式的计算
    • 二阶、三阶对角线法则
      • 序数
    • 化成三角行列式（分不清上下）
    • 字母类型用数学归纳法和递推法
• 值的定义用归纳法 有一阶行列式的定义才能有二阶的，以此类推
• 方程左右乘的顺序 列（行）变换都是列（行）变换
• 若干初等矩阵×A=U 可逆的U是E
• 归纳法
• 用定义
• 类比算数，一个复杂的矩阵能否分解为若干个比较简单矩阵的乘积
• 先进行的变换靠的近（乘法的结合律）
• 不满足交换律与消去律
• 对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、（反）对称矩阵