矩阵（续）

这是一篇关于矩阵（续）的思维导图。导图主要从行列式和矩阵的秩两个方面来做了一个方面，对前面的内容有所补充。

矩阵（续）

• 行列式
  • 行列式的应用
    • 伴随矩阵A*定义
    • A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且A的逆=1/|A| A*
    • 若存在B，使得AB=E则A可逆
    • 分块对角矩阵（可逆的充要条件是Ai均可逆）
    • 克拉默法则
• 矩阵的秩
  • 定义
    • k阶子式
      • 任取A中的k行k列，相交处的元素按原来的顺序排列成的k阶行列式
    • 秩
      • A中不为零子式的最高阶数，记为r（A）
      • r（O）=0
    • A为n阶矩阵（方阵）
      • |A|≠0，则A为非奇异方程
      • r（A）=n，则A为满秩方程
      • 对于方阵，非奇异、可逆、满秩是相同的概念
  • 如何求矩阵的秩
    • 对于行阶梯形矩阵，秩等于其非零行数
      • 初等变换不改变矩阵的秩
        • 推论1 r(A)=r(AT)
        • 推论2 若A与B等价，则r(A)=r(B)
        • P、Q为可逆矩阵，r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
  • 性质
    • 设A是s×m矩阵，B为是s×n矩阵
      • max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)
    • A、B均为m×n矩阵，那么r(A+B)≤r(A)+r(B)
    • A为s×n矩阵，B为n×t矩阵
      • r(AB)≤min{r(A),r(B)}
      • r(A)+r(B)-n≤r（AB）
• A的Er中的r即为E的秩，即为A的秩，所以A的等价标准形唯一确定
• 可以通过方阵秩来判断方阵是否可逆