大一高数上

这是一个关于大一高数上的思维导图，学好数理化，走遍天下都不怕。数学当道先行，所以基础一定要打好哦，加油。

高数叔 数学上

• 第一章 函数与极限
  • 求极限
    • 1.利用四则运算求极限
      • 无穷大-无穷大
        • 不一定等于零
    • 2.等差等比数列求解
      • 利用求和公式
        • 等比：Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1)
        • 等差
          • Sn=(a1+an)n/2
          • Sn=n*a1+(n*(n-1)*d/2)
      • 先找出a1 q d
    • 3.抓大头（无穷比无穷）
      • 大头就是变化速度最快的
        • 次数相等
          • 极限等与最高次项的系数比
        • 分母大
          • 极限为0
        • 分子大
          • 极限为无穷
    • 4.分子分母有理化（有根号）
      • 平方差公式
    • 5.有界函数*无穷小量=0
      • 如有界函数：y=sin/cosx |y|<=1 y=arcsinx |y|<=pai/2 y=arctanx |y|<=pai/2
    • 6.重要极限
      • lin x>0 sinx/x=1
      • lim x>wq (1+1/x)^x=e lim x>0(1+x)^1/x=e
      • 一般地 题目的f(x)可以看作x,要靠自己配出来（主要凑1和倒数）
    • 7.夹逼定理
      • 放缩法
        • 大于最大值 小于最小值
          • ymin<=y<=ymax
    • 8.等价无穷小的代换
      • 查表
        • 常用sin fx ~ fx
      • 只能出现在乘除里
  • 判断函数的连续性
    • 1.连续的定义
      • lim x>x0 f(x)=f(x0)
      • lim diaota x>0 diaota y =0
    • 2.左极限等于右极限
    • 3.判断分段函数分段点是否是两端函数在该点时的极限
  • 判断间断点类型
    • 步骤
      • 1。分析哪些是间断点 （主要根据定义域来判断）【如分母为0】
        • 2.对相应点求极限
          • 根据极限情况判断间断点类型
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
        • 可用分段函数证明其函数可连续
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 震荡间断点
    • 分式形式
      • 分子不为0 分母为0 则极限等于无穷 x=x0是第二类间断点
      • 分子分母同时为0 极限存在但是在该点没意义 x=x0是第一类可去间断点
    • 分段函数
      • 分段点处找间断点
  • 零点，介值定理
    • 步骤
      • 构造F(x) 让原函数一端为0
        • 比较F（a）,F(b)
          • 根据两个定理来证明
    • 零点定理
    • 介值定理
    • 一般结合中值定理一起考察
  • 渐近线
    • 水平
    • 铅直
    • 斜
      • 一般不考
• 第二章 导数
  • 利用导数定义求极限
    • 凑出定义式
    • 反过来 极限求导数是不行的
  • 可导一定连续，连续不一定可导(所以隐含条件就是给出在间断点处的值可导时知道这个函数时连续的)
    • 分段函数的导数
      • 开区间直接求导
      • 分段点处定义求导（很重要 比如x<=0 时要把x<0 和x=0分开 然后对分段点处求导）
    • 分段函数 x不等于0 和x等于 0
      • 判断连续性
        • limx>0 f(x)是否等于 f(0)
    • x小于等于x0 x大于x0
      • 左右导数相等则在x0点导数存在
    • 连续 推出 左右极限相等
    • 可导 推出 左右导数相等（使用导数定义）
    • 求任意点的导数时使用 吊塔x 那个定义
    • 求分段点的导数时使用 x>x0 那个定义
    • 就算是求证明题也是要用这个方法把他凑出来
  • 复合函数求导
    • 每一层分别求导后乘起来
  • 抽象函数求导
    • 用 y, u ,v 的和复合函数一样的方法一层层算出来
  • 利用莱布尼茨定理求高阶导数
    • 找u，v，u一般时固定的，而v则需要不断降阶
    • 常见函数的n阶导
      • (sin x)^n=sin(x+pai*n/2 )
      • (cos x)^n=cos(x+pai*n/2 )
      • （e^x）^(n)= e^x
      • (1/1+x)^n=(-1)6n*n!/(1+x)^(n+1)
      • （lin(1+x)）^n=(-1)^(n-1)*(n-1)!/(1+x)^n
  • 隐函数求导
    • 两边 分别对x求导
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• （1-x^3)=(1-x)(1+x+x^2)