线性代数

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

线性代数

• 行列式
  • 行列式计算：
    • 1.展开式计算，对角线相乘之和减去对称对角线相乘之和
    • 2.利用代数余子式计算
    • 3.利用行列式性质变换，得到上三角或下三角，对角线乘积为行列式的值
  • 行列式的性质
    • 1.转置行列式与原行列式值相等（以对角线为轴，上下数对调）
    • 2.对行列式任意两行（列）对调位置，仅改变行列式值的符号
    • 3.行列式的任一行（列）同乘 k ,等于该行列式乘 k
    • 4.行列式中任意两行（列）成比例，则行列式为零
    • 5.将行列式的某一行（列）的各元素同乘一个数后加到另一行（列），行列式值不变
• 矩阵
  • 矩阵的概念：由 m x n个数排成的 m 行 n 列的数表叫做矩阵。
  • 矩阵的计算
    • 1.矩阵的加减：等于两矩阵中对应的每个元素进行相加减；
    • 2.矩阵的数乘运算：一个数乘一个矩阵等于该矩阵中每个元素都乘以这个数；
    • 3.矩阵与矩阵的乘运算（只有当前者的列等于后者的行才能计算，例如 m x n与 n x l）
  • 矩阵的计算性质
    • 1）矩阵加法：A+B=B+A
    • 2)矩阵乘法：（AB）C=A（BC）;A（B+C）=AB+AC
    • 3)矩阵乘法不满足交换律：AB≠BA
    • 4)矩阵乘法不满足消去律：AB=AC，且A≠0，不能推导出B=C（只有当A可逆时才成立）
    • 5）矩阵AB=0不一定能推出A=0或B=0
  • 转置矩阵的性质
    • 1）（λA）T=λAT
    • 2)（A+B）T=AT+BT
    • 3)（AB）T=BTAT（前后顺序要颠倒）
  • 几种特殊矩阵
    • 1）单位矩阵
    • 2）对角方阵
    • 3）三角矩阵
    • 4）奇异矩阵（/A/=0）；非奇异矩阵（/A/≠0）
    • 5）正交矩阵（若A为 n 阶方阵，且AAT=ATA=E，则称A为正交矩阵）
  • 方阵矩阵的行列式运算
    • 1）/AB/=/A//B/
    • 2)/Ak/=/A/K
    • 3)
    • 4）
  • 利用初等变换求矩阵的秩
    • 1.初等变换（性质篇）
      • 1)对换矩阵中的两行元素
      • 2）以一个不等于0的数乘矩阵某一行的所有元素
      • 3）将某一行所有的元素乘以 k 加到另一行元素上
      • 初等变换不改变矩阵的秩
    • 2.初等变换（矩阵乘法）：矩阵左乘一个经过初等变换的单位矩阵 相当于对矩阵进行相同的初等行变换。（左乘行变换，右乘列变换，单位矩阵怎么变，矩阵怎么变）
    • 3.初等变换求矩阵的秩：矩阵利用初等行变换化为阶梯矩阵，即每行第一个非零元素下的元素全为零，最后矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。
  • 矩阵的秩的性质运算
    • 1）R（A）=R（AT）
    • 2)R（A+B）≤R（A）+R（B）
    • 3)R（AB）≤minR（A）,R（B）
    • 4)若方阵A可逆则方阵A满秩
    • 5）若方阵A可逆，则R（AB）=R（B）
    • 6)若AB=0，其中A为 m x n 矩阵，B为 n x l 矩阵，则R（A）+R（B）≤n
  • 伴随矩阵
    • 1）伴随矩阵概念：伴随矩阵内的每个元素都为原矩阵的代数余子式。（注意矩阵中的元素行与列互换了）
    • 2）伴随矩阵性质：
  • 逆矩阵
    • 1)概念：n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A可逆，并称B为A的逆矩阵，记作A-1=B，即AA-1=A-1A=E
    • 2)性质：
      • 1.λ不为零时，有（λA）-1=1/λA-1
      • 2.若AB同阶且可逆，则有（AB）-1=B-1A-1（取逆后两矩阵前后互换）
      • 3）/A-1/=1//A/
      • 4)
    • 3）求逆矩阵
      • 1.初等变换法：原矩阵右乘一个单位矩阵，通过初等变换后，当左边变为单位矩阵后，右边矩阵即为所求逆矩阵，例如：
      • 2.伴随矩阵法：利用A-1=A*//A/
• 行列式与矩阵的区别总结
  • 一、行列式是一个数值，矩阵是一个数表
  • 二、行列式转置数值不变，矩阵转置数表变（秩不变）
  • 三、行列式对换两行变号，矩阵对换两行秩不变
  • 四、行列式乘一个数等于某行（列）元素乘该数；矩阵乘一个数等于所有元素乘数
• 向量组的线性相关性
  • 性质
    • 1）如果a,b,c三个向量线性相关，这由这三个向量组成的行列式值等于零。
  • 极大线性无关组
    • 求法
      • 1）将所有向量用矩阵表示
      • 2）利用初等变换将矩阵化作阶梯矩阵最简式
      • 3）除零行外，阶梯中的第一个元素对应的向量构成的向量组则成为极大线性无关组
    • 向量组的秩：向量组的最大线性无关组中所含向量的个数
• 线性方程组
  • 齐次线性方程组
    • 1.齐次'可以由Ax=0表示
    • 2.齐次'的解可以用基础解系来表示
    • 3.基础解系的特点
      • 1）全为0解（满秩）（此时该矩阵行列式值/A/≠0）
      • 2）或者个数为 n-r 个（n 为行列数，r 为秩）（此时该矩阵行列式值/A/＝0）
    • 4.基础解系的求法
      • 1）确定基础解系向量的个数n-r
      • 2）将方程组矩阵进行初等行变换→阶梯矩阵，且阶梯首元素对应列其他元素为0
      • 3）取参考向量来构造基础解系
        • 1.除阶梯首行元素，其他列为参考向量，取值按1、0取值；
        • 2.构造方程相等，求出首元素对应数值；
        • 3.最后根据参考向量构造基础解系。
  • 非齐次线性方程组
    • 1.非齐次'同样可由Ax=b表示
    • 2.非齐次'的解法
      • 1）利用齐次的通解（基础解系）：
      • 2)高斯消元法
        • ①将方程组写为增广矩阵（即矩阵A后面加上等式右边 b 列矩阵）记作：
        • ②将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯矩阵
        • ③根据阶梯矩阵的性质判断方程组解的形式
          • Ⅰ.dr+1≠0时方程误解
          • Ⅱ.dr+1＝0时，方程组有解且
          • Ⅲ.r=n时，方程组有唯一解
          • Ⅳ.r＜n时，方程组有无穷多解
• 方程的特行值与特征向量
  • 基本概念：对于n阶方阵A，如果数λ和n维非零列向量x满足：
  • 通过移项得到：
  • 求方阵的特征值与特征向量
    • 1）构建行列式（特征方程）
    • 2）求解
    • 3）将特征值λ代入（A-λE）x=0求出基础解系（解齐次方程组）
    • 4）基础解系的线性组合即是该特征值对应的特征向量（说明特征向量不唯一）
  • 求特征值喝特征向量几个常用的方法
    • 1）方阵所有特征值之和等于原始矩阵的对角线相加之和；
    • 2）所有特征值的乘积等于方阵行列式值/A/；
    • 3）若λ为矩阵A的特征值，则矩阵kA，aA+bE，A2，Am， A-1，A*，分别有特征值kλ，aλ+b，λ2，λm，λ-1，/A/÷λ
• 相似矩阵
  • 概念：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使得P-1*AP=B，则称A和B相似，记作A~B
  • 相似矩阵的性质，若A~B则
    • 1）R(A)=R(B)(初等变换不改变矩阵的秩，推导）
    • 2）/A/=/B/（利用行列式计算推导）；
    • 3）A和B的特征值和特征多项式相同，但特征向量不同！
  • 矩阵相似对角化的性质：
    • 1）矩阵A有n个线性无关的特征向量
    • 2）或者有n个不痛的特征值，或者重特征值对应的线性无关的特征向量数量为重根数
    • 3）实对称阵（AT=A）不同特征值对应特征向量必正交（相乘加和为零）
• 合同矩阵
  • 概念：若存在可逆矩阵P，使得PT*AP=B，则称矩阵A合同于B。
  • 性质：任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵，即存在正交矩阵P，使得PT*AP=
• 二次型
  • 二次型书写
  • 判定二次型是正定的几个充要条件
    • 1）对称矩阵A的特征值全为正
    • 2）对称矩阵A的各阶顺序主子式全为正
    • 3）对称矩阵A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵P，使PT*AP=E，记作A≌B
    • 4)正惯性指数等于未知数个数
    • （附）对称矩阵A为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正
• 任何一个满秩矩阵经过有限次初等变换后化为单位矩阵！！！