高数

本思维导图是对高数知识的整理，包括函数的概念、性质、类别；极限的性质与求解方法；连续的定义。

高等数学

函数

概念

存在x和y，x在定义域中有y依照相应的法则与之对应

性质

单调性

周期性

有界性

奇偶性

函数类别

分段函数

复合函数

反函数

初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

sinx，cosx

公式

tan x，cotx

cscs，secx

反三角函数

arcsinx，arccosx

arctan x

极限

数列极限

如果对于给定的€>0，总存在整数n，当n>N时，恒有｜Xn-A｜<€成立，则称数列a趋向极限

当数列有极限时，这个数列收敛，否则发散

函数极限

当函数趋向于有限值时的极限

∃∂＞0，有 0＜| x-xº | ＜∂，则称当x∽Xo时，恒有 | f(x)-A | ＜∂，记作当x∽xº时，limf(x)=A，

当xº＜x＜xº+∂，恒有f(x)-A＜∂，则称常数A为函数f(x)当x~xº的右极限

当∂-xº＜x＜xº，恒有f(x)-A＜∂，则称常数A为函数f(x)当x~xº的左极限

极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等

当函数趋向于无穷时的极限

∃ ∂＞0，存在X＞0，当x＞X时，有 | f(x)-A| ＜∂，则称当x∽a时，f(x)的极限是A，记作当x∽a时，limf(x)=A，

∃ ∂＞0，存在X＞0，当x＞-X时，有 | f(x)-A| ＜∂，则称当x∽a时，f(x)的极限是A，记作当x∽-∞时，limf(x)=A，

当x～∞时，limaˣ=0(0＜a＜1)，

极限的性质

有界性

单调递增有极大值必有上界

单调递减有有极小值必有下界

函数收敛必有界

若函数趋向自变量无穷，必在取心邻域有界

保号性

当A＞0，limf(x)＞0

当limf(x)＞0，A＞=0

极限趋向无穷

无穷小量

概念

当函数趋向于无穷小时或函数值等于0时成为无穷小量

性质

无穷小的和积为无穷小

无穷小与有常数的极限为无穷小

无穷小形式

limα/β=0，α为β的高阶无穷小

limα/β=∞，α为β的低阶无穷小

limα/β=1，α为β的等价无穷小

limα/β=c，α为β的同界无穷小

limα/βⁿ=1，α为β的n阶无穷小

无穷大量

概念

当函数趋向于无穷大时或者函数值等于无穷大时，为无穷大量

性质

无穷大的和，积为无穷大

无穷大✖️常数为无穷大

求极限

类型

0/0

先化简成可适当形式，观察是否能用等价无穷小替换进行运算，或者用泰勒展开公式

∞/∞

化简，转换为0/0形式，或者用洛必达法则求解

∞-∞

通分，化成0/0求解

1∞，0º ∞⁰

拆项，化简，求解

化为eˡⁿᶠ⁽ˣ⁾的行式

0*∞

通分，化简为0/0形式运算

方法

洛必达法则

等价无穷小替换

泰勒展开公式

利用极限的四则运算法则

夹逼定理

limXn-1=limXn+1=A，limXn=A

利用连续的性质

利用拉格朗日中值定理

通分，化简，合并同类项，具体类型具体方法

利用定积分求极限

极限函数有界的定理

极值定理

函数连续且［a.b］，则一定在［a.b ］内有界

介值定理

函数在［a.b］内连续，则存在ε∈［a.b］，f(a)＜f(ε)＜f(b)

零点定理

函数在(a.b)连续，且f(a)*f(b)＜0，则f(x)在(a.b)内必有零点

连续

连续

概念

limx~0△y=limf(x₀+△x)-△x=0，则称y=f(x)在点x₀处连续，x₀为f(x)的连续点

f(x₀)有定义

limx~x₀f(x)存在为A

A=f(x₀)

判定存在的充分必要条件

f(x)的左右极限值相等

连续的四则运算

limf(x)的极限值=A，limg(x)存在，则limf(g(x))=A

间断

概念

连续函数存在无意义的点，这些点为间断点求出这些点的极限值可求出间断点种类

三个条件任意一个不满足

f(x₀)有定义

A=f(x₀)

limx~x₀f(x)存在为A

判定定理

limf(x₀)=A

当A两个值存在且相等时，为可去间断点

当A两个值存在但不相等时，为跳跃间断点

当A趋向于无穷时，为第二类间断点，无穷间断点

当limf(x₀)振荡时，为振荡间断点

例如tanx

种类

第一类间断点

可去间断点

跳跃性间断点

第二类间断点

振荡间断点

无穷间断点

微分学

子主题

子主题