导图社区 向量组的线性相关性
线性代数第三章向量组的线性相关性，知识点有向量组、线性关系、向量组的秩、向量组的线性相关性、向量空间等。
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向量组的线性相关性
向量组
n维向量：n个有次序的数所组成的数组称为n维向量
向量组：若干个同维数的列向量（或同维度的行向量）所组成的集合
线性关系
线性组合：表达式 称为向量组A的一个线性组合，其中ki为系数（可以全为零）
线性表示
定义
向量组A和向量b存在表达式 则称b能被A线性表示
向量组B中的每个向量都能被A线性表示，则称向量组B能被向量组A线性表示
性质
零向量可以由任意向量组表示
向量组中任意一个向量都可以由向量组表示
任意向量可由a1=（1,0,...,0),a2=(0,1,...,0),...,an=(0,0,...,1)表示
条件
b能被A线性表示的充要条件R(A,b)=R(A)
向量组B能被向量组A线性表示充要条件R(A)=R(A,B)
存在矩阵K使得B=AK
方程Ax=B有解
向量组B能被向量组A线性表示，则R(B)<=R(A)
等价
定义：向量组A与B能互相线性表示则A与B等价
反身性
对称性
传递性
若矩阵A与B列等价则列向量组A与B等价
充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)
给定向量组A 如果存在不全为0的数组 使得 则称向量组A是线性相关的，否则线性无关
线性无关的情况
找不到不全为0 的数组
不是线性相关的
成立的条件是 全为0
R(A)=m
|A|不等于0
线性相关的充要条件
向量组中两向量成比例
含零向量的向量组必相关
只有一个零向量的向量组必相关，只有一个非零向量的向量组不相关
向量组A所构成的矩阵A的秩小于向量的个数R(A)<m
|A|=0
m个n维向量的向量组，n小于向量的个数m时一定线性相关
若向量组A： 线性相关，则向量组B: 也线性相关，反之若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关（部分线性相关则整体线性相关）
向量组的秩
最大无关组
1.向量组A'线性无关
2.向量组中任意r+1个向量都线性相关
2.向量组A的任意向量都能由A'线性表示
则称向量组A’是向量组A的一个最大线性无关组
A等价于A'
秩
最大无关组所含的向量个数就是秩
等价向量有相同的秩，反之不然
向量组A线性无关，则A自身就是最大线性无关组其秩就等于它所含的向量的个数
行秩=列秩=R（A）
线性方程组解的结构
齐次方程组
解向量：Ax=0若 则x= 称为方程组的解向量
解向量的性质
若 是向量方程Ax=0的解，则 也是向量方程的解
线性无关，任意解都可以由 表示
齐次线性方程的解集的最大无关组称为该齐次方程组的基础解系
设m，n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集的秩（Rs）=n-r
设n元线性方程组Ax=0与Bx=0同解，则有R(A)=R(B)=n-Rs
非齐次线性方程组
若 是向量方程Ax=b的解，则 也是向量方程的解
若 是向量方程Ax=b的解， 是向量方程Ax=b的解，则 是向量方程Ax=b的解
非齐次方程组的通解
对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的特解（0，0）
向量空间
定义：设V为n维向量的集合，若集合V非空，且集合V对于向量的加法及数乘两种运算封闭，则称V为一个向量空间
生成向量空间：一般的，由向量组 所生成的向量空间为
子空间：设有向量空间 就称V1是V2的子空间
设V为向量空间，若r个向量 满足
线性无关
V中任意向量都可以由 表示
则称 为V的一个基，r为向量空间的维数
=向量组的秩=基中无关向量的个数
坐标：若在向量空间V中取一个基 那么V中任意一个向量x可以唯一的表示为x= 则称 为x在基 中的坐标
取单位坐标向量组为基为自然基
过渡矩阵：( )=( )P，其中表示式的系数矩阵 称为从旧基到新基的过渡矩阵
坐标变换公式
基变换公式
维数
向量维数：向量分量的个数
向量空间维数：最大无关组中无关向量的个数
0维向量空间只含一个0向量
运算封闭
加法
数乘
