第八章多元函数微分学

全微分：设函数z=f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的某邻域内有定义，且Δz=AΔx+BΔy+ο(ρ)ρ=√(Δx)²+(Δy)²,则函数f在点P₀处可微分，并称AΔx+BΔy为该点的全微分。

第八章：多元函数微分学

• 8.1多元函数的极限与连续
  • 8.11平面点集的知识
    • 1.邻域
    • 2.区域
      • 开区域
      • 闭区域
      • 有界区域
      • 无界区域
  • 8.12多元函数
    • 定义
      • z=f(x,y) (x,y)∈D
  • 8.13二元函数的极限
    • 定义
      • 若有0<|pp₀|=:=√(x-x₀)²+(y-y₀)²<δ,且定义域中一切点都满足|f(x,y)-A|<δ， 则称A 为函数的极限，既f(x,y)→A,P→P₀
  • 8.14二元函数的连续性
    • 定义
      • 设函数f(x,y)在开区域D中有定义，点P₀(x₀,y₀)是D的内点或边界点，且P₀∈D 如果limf(x,y)=f(x₀,y₀)，则称函数在点P处连续
• 8.2偏导数
  • 8.21偏导数的定义
  • 8.22高阶偏导数
• 8.3全微分
  • 8.31全微分定义
    • 设函数z=f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的某邻域内有定义，且Δz=AΔx+BΔy+ο(ρ) ρ=√(Δx)²+(Δy)²,则函数f在点P₀处可微分，并称AΔx+BΔy为该点的全微分
  • 8.32全微分存在的必要条件和充分条件
    • 必要条件
      • 1.如果函数在该点可微分，则他在该点连续
      • 2.若函数在一点可微分，则它在该点的两个偏导数都存在，且 dz|(x₀,y₀)=fₓ(x₀,y₀)Δx+fᵧ(x₀,y₀)Δy
    • 充分条件
      • 若函数的两个偏导数一点处连续，则该函数在该点可微分
  • 8.3.3全微分在近似计算中的应用
• 8.4多元复合函数的求导法则
  • 8.41链式法则
  • 8.42一阶全微分的形式不变性
    • 给定函数z=f(u,v),则有 dz=δz/δu*du+δz/δv*dv
  • 8.43复合函数的高阶偏导数
• 8.5隐函数求导法
  • 8.51一个方程确定隐函数的情形
    • 定理一
      • 设函数F(x,y)满足在点(x₀,y₀)的某一邻域有一阶连续偏导数，且F(x₀,y₀)=0 Fᵧ(x₀,y₀)≠0，则方程有唯一确定一阶导数连续的函数y=y(x)并有求导公式 dy/dx=-Fₓ/Fᵧ
    • 定理二
  • 8.52方程组确定的隐函数的情形
    • 变换T的雅可比行列式
• 8.6多元函数微分法在几何上的应用
  • 8.61空间曲线的切线与法平面
    • 切线
      • 割线的极限位置
    • 法平面
      • 过空间曲线上点且垂直于该点处切线的平面
  • 8.62曲面的切平面与法线
    • 切平面
      • 过曲面上一点都切线组成的平面
    • 法线
      • 过曲面切点而垂直于切平面的直线
  • 8.63全微分的几何意义
    • 函数f可微分的条件下，局部可以用平面代替曲面，既“以直代曲”
• 8.7方向导数和梯度
  • 8.71方向导数
    • 方向角
      • δf/δl=δf/δxcosα+δf/δycosβ+δf/δzcosγ,其中α,β,γ 是方向l的方向角
  • 8.72梯度
  • 8.73等值线，等值面与梯度的意义
    • 数形结合
• 8.8多元函数的极值
  • 8.81极值的定义及求法
    • 定义
      • 设函数在点P₀的某邻域内有定义若存在P的某去心邻域U，使任意的(x,y)∈U, 都有f(x,y)>(<)f(x₀,y₀),则称f(x₀,y₀)是极大值(极小值)
    • 求法
      • (必要条件)设f(x,y)在(x₀,y₀)处有偏导数且极值存在，则必要条件是fₓ(x₀,y₀)=0 fᵧ=0
        • 用梯度向量表示为该点梯度向量为零向量
  • 8.82函数的最大值与最小值
    • 找出该区域内偏导数不存在的点和驻点，并计算函数值，与边界上的最大值和最小值比较就可得出
  • 8.83条件极值
    • 拉格朗日乘数法
• 8.9最小二乘法
  • 经验公式
• 8.10二元函数的泰勒公式
  • 8.10.1二元函数的泰勒公式
  • 8.10.2二元函数极值的充分条件的证明