第一章：函数、极限与连续(2)

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函数极限与连续

• 第一节 函数
  • 初等函数p8
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 三角函数
      • 正弦函数y=sinx
        • 定：R
        • 值：[-1，1]
        • 奇，周期（π）
      • 余弦函数y=cosx
        • 定：R
        • 值：[-1，1]
        • 偶，周期（π）
      • 正切函数y=tanx
        • 定：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
        • 值：R
        • 奇，周期（π）
      • 余切函数y=cotx
        • 定：{x|x≠kπ,k∈Z} 
        • 值：R
        • 奇，周期（π）
      • 正割函数y=secx
        • 定：{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
        • 偶，无界
        • 1＋tan²x=sec²x
      • 余割函数y=cscx
        • 偶，无界
        • 1+cot²x=sec²x
    • 反三角函数
      • 反正弦函数y=arcsinx
        • 定：[-1，1]
        • 值：[-π/2，π/2]
      • 反余弦函数y=arccosx
        • 定：[-1，1]
        • 值：[0，π]
      • 反正切函数y=arctanx
        • 定：R
        • 值：[-π/2，π/2]
      • 反余切函数y=arccotx
        • 定：R
        • 值：[0，π]
  • 反函数与复合函数p7
    • 反函数
      • 定义
      • 定理
        • 原增减反增减p7
    • 复合函数（至少两个函数）
  • 区间和邻域p1
    • 区间
      • 开、闭、半开半闭区间，区间长度
    • 邻域
      • 邻域
      • 去心邻域
  • 函数的概念p2
    • 基本概念
    • 表示方法
      • 表格法，图形法，公式法（解析法）
  • 函数的特性p5
    • 有界性、单调性、奇偶性、周期性
• 第二节 数列极限
  • 数列极限的定义
  • 收敛数列的性质
    • 收敛数列的有界性
      • 定理一:收敛的数列必有界p20
        • 推论:无界数列必发散p20
    • 极限的唯一性
      • 定理二:收敛数列的极限是唯一的p20
    • 收敛数列的保号性
      • 定理三：收敛数列的保号性p21
    • 子数列的收敛性
      • 定理四：若数列某个数列收敛于a，那么这个数列任意一个子数列也收敛，且极限也是a.p21
• 第三节 函数极限
  • 函数极限的定义p23
    • 自变量趋于无穷大时函数的极限
    • 自变量趋于有限值时函数的极限
    • 单侧极限（x→∝）
      • 判断极限是否存在（左右极限相等时，极限存在。）
  • 函数极限的性质p28
    • ①函数极限的唯一性
    • ②函数极限的局部有界性
    • ③函数极限的局部保号性
    • ④函数极限与数列极限的关系
• 第四节 无穷小与无穷大
  • 无穷小p30
  • 无穷小的运算性质p31
    • ①有限个无穷小的代数和仍是无穷小
    • ②有界函数与无穷小的乘积是无穷小
      • 推论一：常数与无穷小的乘积是无穷小
      • 推论二：有限个无穷小的乘积也是无穷小
  • 无穷大p32
    • 正、负无穷大
  • 无穷小与无穷大的关系p33
    • 自变量同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大
• 第五节 极限的运算法则
  • 定理一：极限四则运算法则p34
    • 推论一：常数因子可移到极限符号外p35
    • 推论二:函数极限的n次等于函数n次的极限p35
    • 不用法则：
      • ①0：0型（消零因子）②∝-∝型：（通分化商）③A:0型（极限为∝）④∝:∝型（极限为∝、0具体的数a:b）
  • 定理二:复合函数极限运算法则p37
• 第六节 极限存在准则 两个重要极限
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则p38
    • 单调有界准则（可判断极限是否存在）
      • 定理：单调有界数列必有极限p40
  • 两个重要极限p41
• 第七节 无穷小的比较
  • 无穷小阶的定义p46
  • 等价无穷小
• 第八节 函数的连续与间断
  • 函数的连续性p52
  • 函数间断点
    • 第一类：左右极限都存在p52
      • 跳跃间断点p52
      • 可去间断点p52
    • 第二类：左右极限至少有一个不存在p53
      • 无穷间断点p53
      • 震荡间断点p53
    • 存在条件
• 第九节 连续函数的运算与性质
  • 连续函数的四则运算
    • 定理1：若函数f(x),g(x)在点x处连续,则f(x)g(x),f(x)·g(x),f(x)(当g(xo)≠0时)也在点xo处连续p55
    • 定理2：若函数y=f(x)在区间上单调增加或单调减少)且连续,则它的反函数x=(y)也在对应的区间1y=y}y=fx),x∈1}上单调增加(或单调减少)且连续p55
    • 定理三：p55
  • 反函数与复合函数的连续性
  • 初等函数的连续性
    • 定理五:基本初等函数在其定义域内都是连续的p57
    • 定理六:一切初等函数在其定义域内都是连续的p57
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 定理七:（最值定理）:在闭区间少连续的函数一定有最大值和最小值。p58
    • 定理八:（有界性定）:在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。p58
    • 定理九:（零点定理）:设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（a）与f（b）异号（f（a）·f（b）＜0）,则在区间（a,b）内至少有函数f（x）的一个零点，即至少存在一点￡（a＜￡＜b）,使f（￡）=0。p59
    • 定理十:（介值定理）:设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在该区间的端点处有不同的函数值f（a）=A及f（b）=B，那么，对于A和B之间的任意一个数C，在区间（a，b）内至少有一点￡，使得f（￡）=Cp59
  • 一致连续性
    • |f（x）-f（xº）|＜￡