线性代数第一章

这是一篇关于线性代数第一章的思维导图，包含：上三角形形式列式的值也等于对角线上元的连乘积等内容。

第一章，行列式

• 第一节，二阶行列式与三阶行列式
  • 命题一；（之前学的秋方程组解的公式）
    • 用二阶行列式解x1=D1/D x2=D2/D
  • 定义一；二阶行列式ab;cd=ad-bc
  • 定义二；三阶行列式
    • 对角线法则
• 第二节，全排列及其逆序，逆序数
  • 定义一；在数字排列中大数排在小数前就构成了一个逆序，排列中逆序的总个数就是逆序数。3251的逆序数是4记为N（3251）=4
  • 定义二；在一个排列中互换其中两个数叫对换，如果是相邻的两个数就是相邻兑换
  • 定理一；一次对换改变行列式的奇偶性一次
    • 逆序数是奇数的排列叫寄排列
  • 推论；寄排列必须经过奇数次排列才会变成标准排列，偶也一样
• 第三节，n阶行列式的定义
  • 定义一；n阶行列式不仅是个正方形数表，还含有一个先乘后加的很复杂的特定运算
  • 命题一；下三角形行列式的值，等于主对角线元的连乘积
  • 命题二；D=D1D2（D是把行列式按几何等分成四块之后右上角全是0元的行列式，D1D2分别是左上和右下块单独组成的行列式）
  • 定理一；行列式的某个项a15a21a32a43a54的符号就是（-1）N(51234)=(-1)4=1
• 第四节，行列式的性质
  • 性质一；任何行列式D一定和自己的专职行列式DT 的值相同
  • 命题一；上三角形行列式的值也等于主对角线上元的连乘积
  • 性质二；兑换行列式D的两个不同列，所得新行列式D1的值与原行列式值符号相反
  • 性质二推论；若行列式的某两列完全一样，则此行列式的值一定为0
  • 性质三；把行列式D的某一列乘以常数k得新行列式D1，则D1=kD
  • 性质三推论一；可以把行列式某一列的因公子提到行列式外面
  • 性质三推论二；行列式某一列元全是0，则行列式也等于0
  • 性质四；一个行列式的某两列元对应成比例，则此行列式等于0
  • 性质五；如果行列式的某行元恰好是两个元的和则D就可以依照把那一行拆成两个行列式D1,D2的和
  • 性质六；把行列式D的某列乘以常数加到另一列上得到的新行列式D1，则D=D1
• 第五节，行列式的按行（列）展开
  • 定义一；代数余子式Aij，Aij=（-1）i+jMij
  • 引理一；行列式中若某行或某列元除aij外全为0，则D=aijAij
  • 定理一；n阶行列式D等于他某行（列）元与自己对应的代数余子式乘积之和
  • 定理一推论一；把行列式的第i行（列）元的所有代数余子式，依次与另一组数相乘再相加，等于把D的第i行(列)换成这组数后的新行列式D1
  • 定理一推论二；行列式的某行（列）元，以此与自己另一行（列）元的代数余子式对应相乘再相加，其值必为0
• 第六节，克莱姆法则——行列式的应用举例